Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Di 01.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] a_{n} [/mm] = [mm] -3^{n} -\bruch{1}{n}cos(n) [/mm] |
Hallo,
ich soll den Grenzwert von obiger Folge bestimmen bzw. angeben ob es einen gibt oder nicht.
Hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] -3^{n} -\bruch{1}{n}cos(n)
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} -3^{n} -\bruch{1}{n}cos(n) [/mm] = - [mm] \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Folge ist bestimmt divergent und hat keinen Grenzwert.
Ist das alles so Formal richtig? Kann ich das so in der Klausur hinschreiben?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Di 01.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ali!
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]-3^{n} -\bruch{1}{n}cos(n)[/mm]
Ist das wirklich so gemeint, oder nicht doch eher:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \red{(}-3\red{)}^n-\bruch{1}{n}*\cos(n)$ [/mm] ??
> Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]-3^{n} -\bruch{1}{n}cos(n)[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} -3^{n} -\bruch{1}{n}cos(n)[/mm] = - [mm]\infty[/mm]
Besser zusätzliche Klammern setzen (wie auch schon in der letzten Aufgabe angemerkt wurde).
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Folge ist bestimmt divergent und hat keinen Grenzwert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist das alles so Formal richtig? Kann ich das so in der
> Klausur hinschreiben?
Ich meine: da müsstest Du schon etwas mehr begründen, insbesondere zu [mm] $-\bruch{1}{n}*\cos(n)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
PS: bitte poste derartige Aufgaben auch im Unterforum der Uni-Analysis / Folgen und Reihen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Di 01.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke für die schnelle Antwort.
> Hallo Ali!
>
>
>
> > [mm]a_{n}[/mm] = [mm]-3^{n} -\bruch{1}{n}cos(n)[/mm]
>
> Ist das wirklich so gemeint, oder nicht doch eher:
>
> [mm]a_n \ = \ \red{(}-3\red{)}^n-\bruch{1}{n}*\cos(n)[/mm] ??
>
Nein. Die Aufgabe ist so ohne Klammern gegeben.
>
> > Hier mein Lösungsvorschlag:
> >
> > [mm]a_{n}[/mm] = [mm]-3^{n} -\bruch{1}{n}cos(n)[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} -3^{n} -\bruch{1}{n}cos(n)[/mm] = -
> [mm]\infty[/mm]
>
> Besser zusätzliche Klammern setzen (wie auch schon in der
> letzten Aufgabe angemerkt wurde).
>
>
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Die Folge ist bestimmt divergent und hat keinen
> Grenzwert.
>
>
>
>
> > Ist das alles so Formal richtig? Kann ich das so in der
> > Klausur hinschreiben?
>
> Ich meine: da müsstest Du schon etwas mehr begründen,
> insbesondere zu [mm]-\bruch{1}{n}*\cos(n)[/mm] .
>
Was sollte ich da noch begründen? soll ich dann noch hinschreiben 0 * cos(n) ... Wäre dies dann besser?
>
> Gruß
> Loddar
>
>
> PS: bitte poste derartige Aufgaben auch im Unterforum der
> Uni-Analysis / Folgen und Reihen.
>
oki doki. Werd ich machen.
Vielen Dank.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Di 01.01.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Ali!
> > > Ist das alles so Formal richtig? Kann ich das so in der
> > > Klausur hinschreiben?
> >
> > Ich meine: da müsstest Du schon etwas mehr begründen,
> > insbesondere zu [mm]-\bruch{1}{n}*\cos(n)[/mm] .
> >
> Was sollte ich da noch begründen? soll ich dann noch
> hinschreiben 0 * cos(n) ... Wäre dies dann besser?
Nein, denn es gilt im Allgemeinen nicht [mm]\lim_{n\to\infty}\frac 1n\cdot f(n)=0[/mm]. Beispielsweise ist [mm]\lim_{n\to\infty}\frac 1n\cdot e^n=\infty[/mm]... Du musst hier mit den Eigenschaften des Kosinus argumentieren.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:03 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> > Hallo Ali!
> >
> >
> >
> > > [mm]a_{n}[/mm] = [mm]-3^{n} -\bruch{1}{n}cos(n)[/mm]
> >
> > Ist das wirklich so gemeint, oder nicht doch eher:
> >
> > [mm]a_n \ = \ \red{(}-3\red{)}^n-\bruch{1}{n}*\cos(n)[/mm] ??
> >
> Nein. Die Aufgabe ist so ohne Klammern gegeben.
>
> >
> > > Hier mein Lösungsvorschlag:
> > >
> > > [mm]a_{n}[/mm] = [mm]-3^{n} -\bruch{1}{n}cos(n)[/mm]
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} -3^{n} -\bruch{1}{n}cos(n)[/mm] = -
> > [mm]\infty[/mm]
> >
> > Besser zusätzliche Klammern setzen (wie auch schon in der
> > letzten Aufgabe angemerkt wurde).
> >
> >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] Die Folge ist bestimmt divergent und hat keinen
> > Grenzwert.
> >
> >
> >
> >
> > > Ist das alles so Formal richtig? Kann ich das so in der
> > > Klausur hinschreiben?
> >
> > Ich meine: da müsstest Du schon etwas mehr begründen,
> > insbesondere zu [mm]-\bruch{1}{n}*\cos(n)[/mm] .
> >
> Was sollte ich da noch begründen? soll ich dann noch
> hinschreiben 0 * cos(n) ... Wäre dies dann besser?
das wäre schlimmer: Es gilt doch für kein $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] dass [mm] $-\;1/n*\cos(n)=0*\cos(n)\,.$ [/mm]
Und ebenso falsch wäre es, zu schreiben
[mm] $$\lim_{n \to \infty} (\;-\;1/n*\cos(n))=(\lim_{n \to \infty} \;-\;1/n)*\lim_{n \to \infty}\cos(n)\,,$$
[/mm]
denn [mm] $\lim_{n \to \infty}\cos(n)$ [/mm] existiert nicht! Außerdem: Was wäre [mm] $0*\pm\infty$ [/mm] - so etwas
könnte es ja i.a. auch geben?!
Und dennoch gilt, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} (\;-\;1/n*\cos(n))$ [/mm] existiert mit
[mm] $$\lim_{n \to \infty} (\;-\;1/n*\cos(n))=0\,.$$
[/mm]
Was Loddar meint, ist, dass Du benutzen und begründen sollst, dass
[mm] $(\;-\;1/n*\cos(n))_n$ [/mm] eine beschränkte Folge ist (das reicht schon - man
kann aber sogar mehr sagen: diese Folge ist sogar konvergent; Du kannst
also in der Tat auch mit dem Limes argumentieren, aber das brauchst Du
nicht)!
Denn es gilt: Ist [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] konvergent gegen [mm] $+\infty$ [/mm] bzw. [mm] $-\infty\,,$
[/mm]
und ist [mm] ${(b_n)}_n$ [/mm] nach unten bzw. oben beschränkt, so folgt [mm] $a_n+b_n \to +\infty$ [/mm] bzw. [mm] $a_n+b_n \to -\infty\,.$
[/mm]
(Beachte bitte die Zusammenhänge: 1. Fall: [mm] $a_n \to \infty$ [/mm] und [mm] ${(b_n)}_n$ [/mm] nach UNTEN beschränkt [mm] $\Rightarrow$ $a_n+b_n \to \infty\,.$
[/mm]
2. Fall: [mm] $a_n \to \;-\;\infty$ [/mm] und [mm] ${(b_n)}_n$ [/mm] nach OBEN beschränkt [mm] $\Rightarrow$ $a_n+b_n \to \;-\;\infty\,.$)
[/mm]
P.S.: Erinnerung: Konvergente Folgen sind übrigens stets beschränkt!
(Wobei hier Konvergenz gegen [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] AUSGESCHLOSSEN
gemeint ist!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Mi 02.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Vielen vielen dank an euch. habt mir sehr geholfen.
grüße
ali
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