Grenzwert einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Di 03.07.2012 | | Autor: | Tony1234 |
| Aufgabe | | [mm] a_{n}=\bruch{6n^2+1}{3n}-\bruch{(6n^2+5)n-2}{3n^2+3n} [/mm] |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(6n^2+1)(3n^2+3n)-((6n^2+5)n-2)(3n)}{3n(3n^2+3n)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{18n^4+18n^3-3n^2-3n-18n^4-15n^2+6n}{9n^3+9n^2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{18n^3-18n^2+3n}{9n^3+9n^2} [/mm]
Durch [mm] n^3 [/mm] teilen
[mm] =\bruch{18-\bruch{18}{n^n}+\bruch{3}{n^2}}{9+\bruch{9}{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{18}{9}
[/mm]
Da der rest gegen 0 läuft
--> Grenzwert =2
Ist diese Aufgabe korrekt gerechnet=??
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Hallo Tony1234,
> [mm]a_{n}=\bruch{6n^2+1}{3n}-\bruch{(6n^2+5)n-2}{3n^2+3n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(6n^2+1)(3n^2+3n)-((6n^2+5)n-2)(3n)}{3n(3n^2+3n)}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{18n^4+18n^3-3n^2-3n-18n^4-15n^2+6n}{9n^3+9n^2}[/mm]
>
Hier haben sich einige Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{18n^4+18n^3\blue{+}3n^2\blue{+}3n-18n^4-15n^2+6n}{9n^3+9n^2}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{18n^3-18n^2+3n}{9n^3+9n^2}[/mm]
>
> Durch [mm]n^3[/mm] teilen
>
> [mm]=\bruch{18-\bruch{18}{n^n}+\bruch{3}{n^2}}{9+\bruch{9}{n}}[/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{18}{9}[/mm]
>
> Da der rest gegen 0 läuft
>
> --> Grenzwert =2
>
Das Ergebnis stimmt.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist diese Aufgabe korrekt gerechnet=??
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Di 03.07.2012 | | Autor: | Tony1234 |
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Di 03.07.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo Tony1234,
> Ist diese Aufgabe korrekt gerechnet=??
Das Endergebnis stimmt, den Vorzeichenfehler in den Zwischenschritten hat MathePower ja schon aufgezeigt.
Du hättest allerdings etwas einfacher rechnen können:
> [mm]a_{n}=\bruch{6n^2+1}{3n}-\bruch{(6n^2+5)n-2}{3n^2+3n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(6n^2+1)(3n^2+3n)-((6n^2+5)n-2)(3n)}{3n(3n^2+3n)}[/mm]
Hier hätte es gereicht, die Brüche auf den Hauptnenner $3n(n+1) = [mm] 3n^2+3n$ [/mm] zu bringen, also nur den ersten Bruch zu erweitern.
Viele Grüße
Marc
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