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| Aufgabe | Sei f : [a,1) [mm] \to \IR [/mm] uneigentlich absolut integrierbar. Dann gilt
[mm] \limes_{\omega\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f(x) cos(\omega*x) dx} [/mm] = 0.
Gehen Sie zum Beweis etwa in folgenden Schritten vor:
1. Für alle Treppenfunktionen f : [a, b] [mm] \to [/mm] R ist [mm] \limes_{\omega\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f(x) cos(\omega*x) dx} [/mm] = 0.
2. Für alle Regelfunktionen f : [a, b] [mm] \to [/mm] R ist [mm] \limes_{\omega\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f(x) cos(\omega*x) dx} [/mm] = 0.
3. Zeigen Sie nun die Behauptung unter Verwendung von
[mm] \integral_{R}^{ \infty}{|f(x)| dx} \le \bruch{ \varepsilon}{2}
[/mm]
für ein geeignetes R.
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Hallo,
ich weiß leider nich wie bei der Aufgabe anfangen soll.
Bei zweitens habe ich probiert, dass Integral aufzulösen, was mir leider
nciht gelungen ist, mit partieller Integration hat es zumindest nicht funktioniert, und mit substitution wollte es auch nicht gelingen.
Aber leider weiß ich auch nciht den direkten unterschied zwischen 1 und 2,
mir ist klar was eine Treppenfunktion bzw regelfunktion ist, aber wie schlägt sich das auf den Grenzwert aus, leider wurden die Treppenfunktionen viel zu wenig behandelt.
würde mich über einen Hinweis freuen.
MFG
Nathenatiker
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Hallo nathenatiker,
sag mal, muß das integral in der aufgabe nicht von $a$ bis unendlich gehen?
wie dem auch sei, ein paar tips von meiner seite:
1.) hier sind weniger 'klassische' integrationsmethoden wie substitution o.ä. gefragt als viel mehr geschickte grenzübergänge und argumentation.
2.) mache dir zuerst klar, dass die aussage auf endlichen intervallen für konstante funktionen $f$ gilt, das ist nämlich der Kern des ganzen. die aussage für treppenfunktionen folgt dann wie von selbst.
3.)regelfunktionen lassen sich durch treppenfunktionen gleichmäßig approximieren. Nutze dies für den zweiten schritt des beweises aus. hier ist geschickter umgang mit grenzwertprozessen gefragt.
4.)Im dritten Schritt des beweises muß das integral geeignet zerlegt werden.
VG
Matthias
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Hallo,
ich weiss einfach nicht wie ich Punkt 1) zeigen soll, ich weiss einfach nicht wie das Integral "anfassen" kann. Kann mir da lemad helfen????
mfg
nathenatiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Di 14.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst dir erst mal klar machen, dass cos(w*x) über eine Periode integriert 0 ergibt. je größer w dest kürzer sind die Perioden. Wenn cos noch mit einer Konstanten multipliziert wird, gilt das noch immer, und wenn auf den Intervallen f(x) sich nur wenig ändert, gilt es noch beinahe!
So und das musst du jetzt als Idee verwenden, und w gegen Unendlich gehen lassen.
Gruss leduart
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