Grenzwert: n als Exponent < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte nicht für jede Grenzwert-Frage ein neues Thema aufmachen, aber ich hab fast zu jeder Teilaufgabe eine Frage.
Ich weiß hier nicht, was ich machen soll:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= \bruch{(-1)^{n}*n^{2}}{n^{2}+1}
[/mm]
Hat jemand einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:42 Di 26.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich möchte nicht für jede Grenzwert-Frage ein neues Thema
> aufmachen, aber ich hab fast zu jeder Teilaufgabe eine
> Frage.
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> Ich weiß hier nicht, was ich machen soll:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= \bruch{(-1)^{n}*n^{2}}{n^{2}+1}[/mm]
>
> Hat jemand einen Tipp?
[mm] (a_n) [/mm] ist divergent. Betrachte die Teilfolgen [mm] (a_{2n}) [/mm] und [mm] (a_{2n-1})
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Di 26.06.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
> ich möchte nicht für jede Grenzwert-Frage ein neues Thema
> aufmachen,
Der Übersichtlichleit halber, halte ich das aber für die bessere Idee.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Di 26.06.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
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> ich möchte nicht für jede Grenzwert-Frage ein neues Thema
> aufmachen, aber ich hab fast zu jeder Teilaufgabe eine
> Frage.
>
> Ich weiß hier nicht, was ich machen soll:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= \bruch{(-1)^{n}*n^{2}}{n^{2}+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zuerst mal zur korrekten Notation, dazu ist dir ja im anderen Diskussionsstrang einiges gesagt worden.
$ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n}\cdot{}n^{2}}{n^{2}+1} $
>
> Hat jemand einen Tipp?
Alternativ zu Freds Weg kannst du auch den Standardweg nehmen, und die höchste Potenz - hier n² - ausklammern.
$ \frac{(-1)^{n}\cdot{}n^{2}}{n^{2}+1} $
$ =\frac{(-1)^{n}\cdot{}n^{2}}{n^{2}\cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)} $
$ =\frac{(-1)^{n}}{1+\frac{1}{n^{2}} $
Nun erkennt man recht gut, dass die Folge zwei Häufungspunkte hat, wenn man n\to\infty laufen lässt.
Marius
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Ok, musste mir dazu wieder einiges anlesen, aber so langsam verstehe ich es.
Die Folge [mm] a_{n} [/mm] ist divergent, da eine der Teilfolgen divergiert.
Jetzt gehts um die Schreibweise. Ich habe das so aufgeschrieben:
Den Limes habe ich gleich weggelassen, da man ihn ja nur hinschreibt, wenn die Folge [mm] a_{n} [/mm] tatsächlich einen Grenzwert hat. Ich habe alternativ n gegen unendlich gehen lassen.
[mm] a_{n}= \bruch{(-1)^{n}*n^{2}}{n^{2}+1} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n}}{1+\bruch{1}{n^{2}}}[/mm] [mm]n\to\infty[/mm] [mm] \bruch{(-1)^{n}\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}}{1}
[/mm]
Ausgedrückt durch [mm]a_{n}=\bruch{b_{n}}{c_{n}}[/mm] so ist [mm] b_{n} [/mm] unbestimmt divergent, da diese Teilfolge zwei Häufungspunkte besitzt (-1;1).
Die Schreibweise mit der Klammer am Ende ist nicht schön, aber ich habe nirgends eine Schreibweise für Häufungspunkte gefunden bzw. um es klar zu machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Ok, musste mir dazu wieder einiges anlesen, aber so langsam
> verstehe ich es.
>
> Die Folge [mm]a_{n}[/mm] ist divergent, da eine der Teilfolgen
> divergiert.
> Jetzt gehts um die Schreibweise. Ich habe das so
> aufgeschrieben:
>
> Den Limes habe ich gleich weggelassen, da man ihn ja nur
> hinschreibt, wenn die Folge [mm]a_{n}[/mm] tatsächlich einen
> Grenzwert hat. Ich habe alternativ n gegen unendlich gehen
> lassen.
>
> [mm]a_{n}= \bruch{(-1)^{n}*n^{2}}{n^{2}+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{1+\bruch{1}{n^{2}}}[/mm] [mm]n\to\infty[/mm]
> [mm]\bruch{(-1)^{n}\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}}{1}[/mm]
>
> Ausgedrückt durch [mm]a_{n}=\bruch{b_{n}}{c_{n}}[/mm] so ist [mm]b_{n}[/mm]
> unbestimmt divergent, da diese Teilfolge zwei
> Häufungspunkte besitzt (-1;1).
>
> Die Schreibweise mit der Klammer am Ende ist nicht schön,
> aber ich habe nirgends eine Schreibweise für
> Häufungspunkte gefunden bzw. um es klar zu machen.
>
Ich würd dir empfehlen nur eine Argumentation zu nutzen, speziell meine ich:
Entweder du benutzt das Argument "Die Folge [mm] a_{n} [/mm] ist divergent, weil eine der Teilfolgen divergiert"
oder "Die Folge [mm] a_{n} [/mm] ist divergent, da [mm] a_{n} [/mm] zwei Häufungspunkte (in dem Fall [mm] x_{1} [/mm] = 1 und [mm] x_{2} [/mm] = -1) besitzt."
Ich würde hier aber eher das Argument nutzen, dass die Folge, wie du und M.Rex gezeigt habt, 2 Häufungspunkte besitzt und somit divergiert.
Schöne Grüße.
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