Grenzwert von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 So 06.05.2012 | | Autor: | Ali92 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie für die Folge: [mm] \bruch{n^{2} + n}{n^{3}} [/mm] und bestimmen Sie explizit zu einem geg. [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_{0} [/mm] |
ich bin so weit gekommen, dass ich
[mm] \bruch{1}{n } [/mm] + [mm] \bruch{1}{n²} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] habe,
muss nun irgendwie nach n auflösen/umstellen/ irgendwas abschätzen, aber ich weiß an der Stelle nicht mehr weiter ...
Danke im Voraus!
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Hallo Ali92,
> Bestimmen Sie für die Folge: [mm]\bruch{n² + sin (n)}{n}³[/mm]
> und bestimmen Sie explizit zu einem geg. [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> ein [mm]n_{0}[/mm]
>
> ich bin so weit gekommen, dass ich
>
> [mm]\bruch{1}{n }[/mm] + [mm]\bruch{1}{n²}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] habe,
Wie kommst du dahin? Zeige doch bitte immer (!!!) deine Rechnung!
Der GW ist ja 1, also musst du zu bel. vorgegebenem [mm]\varepsilon >0[/mm] ein [mm]n_0[/mm] angeben, so dass für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt: [mm]|a_n-GW|<\varepsilon[/mm]
Schätze dazu in einer Nebenrechnung [mm]|a_n-GW|=\left|\frac{n+\sin(n)}{n}-1\right|[/mm] ab.
Mache gleichnamig und fasse zusammen, dann kommst du auf [mm]\frac{|\sin(n)|}{n}[/mm]
Nutze aus, dass der Sinus beschränkt ist und du hast schnell ein passendes [mm]n_0[/mm] gefunden ...
>
> muss nun irgendwie nach n auflösen/umstellen/ irgendwas
> abschätzen, aber ich weiß an der Stelle nicht mehr weiter
> ...
>
> Danke im Voraus!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 So 06.05.2012 | | Autor: | Ali92 |
Ah sorry, die Ausgangsfunktion ist auch: [mm] \bruch{n^{2} + n}{n^{3}}, [/mm] die andere Funktion habe ich schon gelöst gehabt.
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> Ah sorry, die Ausgangsfunktion ist auch: [mm]\bruch{n^{2} + n}{n^{3}},[/mm]
schätze diese Folge doch erst einmal ab und suche dann ein passendes n.
Der Grenzwert ist ja offensichtlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 06.05.2012 | | Autor: | Ali92 |
Ja, der GW ist ofdfensichtlich 0, ich bin im Abschätzen 'ne Niete und weiß halt nicht mehr weiter, ich muss halt im Ergebnis auf ein bestimmtes [mm] n_{0} [/mm] kommen und weiß nun nicht, wie ich sinnvoll abschätze.
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Ein Bruch wird größer, wenn man den Zähler größer wählt, oder den Nenner kleiner. Hier bietet es sich ja an, den Zähler zu vergrößern. Suche also einen Zähler $x$ , der möglichst keine Summe enthält (damit man gut kürzen kann) und wo gilt:
[mm] n^2+n
Na, was würde sich denn da optimal anbieten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 So 06.05.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich bin mal ein Spielverderber und gebe Dir mal eine mögliche Antwort an und hoffe, dass Du daraus etwas lernst:
[mm] $a_n:=\frac{n^2+n}{n^3}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$
[/mm]
Damit ist der Grenzwert $a=0$, denn
[mm] $a:=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0+0=0$
[/mm]
Also: Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gegeben, nun wähle [mm] $n_0:=$ [/mm] (dazu gleich), dann gilt für alle [mm] $n\geqslant n_0$
[/mm]
[mm] $\left|a_n-0\right|=\left|\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right|=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\leqslant\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=\frac{2}{n}\leqslant\frac{2}{n_0}\overset{!}{=}\varepsilon$
[/mm]
Also können wir [mm] $n_0=\frac{2}{\varepsilon}$ [/mm] wählen. Jedes noch größere [mm] $n_0$ [/mm] ist natürlich ebenso zugelassen.
Gruß
Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 So 06.05.2012 | | Autor: | Ali92 |
Vielen Dank, dieseA Abschätzung hatte ich mit meienr Arbeitsgruppe anfangs auch, aber, wenn wir das einsetzen:
also [mm] \bruch{2}{\varepsilon} [/mm] in n in der Gleichung: [mm] \bruch{1}{n}+ \bruch{1}{n^{2}} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon^{2}}{4} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
also umgeformt: [mm] \varepsilon^{2} [/mm] < [mm] 2\varepsilon [/mm]
und damit ist doch die linke Seite größer, also n Widerspruch, oder habe ich da einen Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Mo 07.05.2012 | | Autor: | Denny22 |
> s.o.
> Vielen Dank, dieseA Abschätzung hatte ich mit meienr
> Arbeitsgruppe anfangs auch, aber, wenn wir das einsetzen:
>
> also [mm]\bruch{2}{\varepsilon}[/mm] in n in der Gleichung:
Wieso das denn? Um Gottes Willen, Du sollst doch nicht [mm] $\varepsilon$ [/mm] in die $n$-Gleichung einsetzen! Das einzige was Du weißt ist [mm] $n\geqslant n_0$, [/mm] das bedeutet (invertieren beider Seiten) [mm] $\frac{1}{n}\leqslant \frac{1}{n_0}$. [/mm] Im letzten Schritt [mm] $\frac{2}{n_0}\overset{!}{=}\varepsilon$ [/mm] hatte ich extra ein Ausrufezeichen drüber gesetzt, um Dir anzudeuten, dass hier eine Forderung eingeht. Diese Forderung liefert uns nun ein mögliches [mm] $n_0$. [/mm] Kurz: Du sollst niemals $n$ durch [mm] $\varepsilon$ [/mm] ersetzen. Dein Ansatz macht so leider keinen Sinn.
> [mm]\bruch{1}{n}+ \bruch{1}{n^{2}}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] + [mm]\bruch{\varepsilon^{2}}{4}[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> also umgeformt: [mm]\varepsilon^{2}[/mm] < [mm]2\varepsilon[/mm]
>
> und damit ist doch die linke Seite größer, also n
> Widerspruch, oder habe ich da einen Denkfehler?
Gruß
Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:03 Mo 07.05.2012 | | Autor: | Ali92 |
Alles klar, natürlich, vielen Dank! - Schönen Abend noch :)
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[mm] \bruch{2}{\epsilon}
heißt ja nur, dass man den Term möglichst klein bekommt, wenn man ein zugehöriges [mm] n_0 [/mm] findet.
Soll heißen: Wenn du dir ein kleines [mm] \epsilon [/mm] vorgibst, so findest du ein [mm] n_0, [/mm] sodass also [mm] |a_n_{0}|<\epsilon [/mm] ist.
Man setzt also keine [mm] \epsilon [/mm] in irgendeine Folge ein, sondern die n.
Das [mm] n_0 [/mm] sichert dir also, dass die Folge kleiner als ein vorgebenes epsilon ist.
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