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| Aufgabe | | Man skizziere den Verlauf der Funktion f: [mm] \IR\backslash\{0\} \to \IR,[/mm] [mm]f(x) = sin(1/x)[/mm] und beweise, daß [mm]f(x)[/mm] an der Stelle [mm] x_{0}=0 [/mm] keinen Grenzwert besitzt, indem man die beiden Folgen [mm]x_{n}=1/(n\pi)[/mm] und [mm]x_{n}=1/((2n\pi) + \pi/2)[/mm] betrachte. |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] ist für beide Folgen 0. Das Bild der Folgenglieder ist immer 1 bzw 0. Aber wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=0 [/mm] für beide Folgen gilt gibt es mit [mm]f(x)=sin(1/x)[/mm] eine Division durch 0 und somit ist der Grenzwert an der Stelle [mm] x_{0}=0 [/mm] nicht definiert. Reicht das für einen Beweis dieser Aufgabenstellung, oder muss ich mit der Annäherung der Grenzwerte von beiden Seiten Argumentieren? Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
es gibt ja auch Fälle, in denen sich das x im Nenner rauskürzt, und deswegen ein Grenzwert an solchen kritischen Punkten existiert. Hier ist das ja nicht der Fall, denn die Oszillationen von Maxima und Minima "ballen" sich in [mm] x_0=0. [/mm] Dort ist die Funktion irgendwie 1 und 0 und alles dazwischen.
Um das formal zu beweisen, musst du die beiden Folgen betrachten. Die beiden Folgen müssen für [mm] n\to\infty [/mm] gegen die gleiche Zahl konvergieren (die Zahl die so "kritisch" ist, hier die 0), aber [mm] f(x_n_1) [/mm] und [mm] f(x_n_2) [/mm] müssen gegen unterschiedliche Werte konvergieren. Dann existiert der Grenzwert nicht. Dieser Satz müsste irgendwann mal zum Thema Stetigkeit gefallen sein.
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Mi 28.01.2009 | | Autor: | MatheSpass |
Mit anderen Worten: Der Grenzwert ist, wenn er denn existiert, auch eindeutig. Also müsste egal, welche Nullfolge du in die Funktion packst dieser Grenzwert rauskommen. Dass dem nicht so ist, hast du ja schon festgestellt.
MfG
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