Grenzwert von Partialsummenf. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Mi 22.11.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Summe s der folgenden Reihe als Grenzwert der Folge (sn) n E N ihrer Partialsummen:
geg: 1/(1*2)+1(2*3)+1/(3*4)+...=
Hinweis: 1/(k*(k+1))=1/k-1/(k+1) |
Also mein Ansatz war bisher, dass ich mal ein paar Partialsummen gebildet habe.
Letztendlich hab ich eingesehen, dass der erste Teil des Hinweises eben exakt das darstellt, was der Grenzwert meiner Partialsummenfolge ist. richtig?
Also kann ich auch schreiben:
[mm] sn=\summe_{i=1}^{n}1/(k*(k+1))
[/mm]
Wenn ich davon jetzt den Limes bilde, komme ich auf das Ergebnis: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n}1/(k*(k+1))=0
[/mm]
Also wäre 0 mein gesuchter Grenzwert.
Ist das richtig? Oder ist der ganze Ansatz falsch. Was bringt mir der 2. Teil des Hinweises? Danke für Eure Hilfe...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Do 23.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
der Grenzwert deiner Reihe ist 1.
Das zeigst du mit Hilfe der Partialbruchzerlegung [mm] \bruch{1}{k*(k+1)}=\bruch{A}{k}+\bruch{B}{(k+1)}
[/mm]
wenn du das hast, lässt du k gegen unendlich laufen und erhältst als Wert [mm] s_n=1
[/mm]
edit: hab grad noch gesehen, dass der "Hinweis" eine Zerlegung bereits überflüssig macht ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
ok, dann setze den neuen Summanden ein und schreib' mal die ersten Glieder der Reihe auf - was erkennst du?
was bleibt übrig für k=n?
Liebe Grüße
Herby
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