Grenzwert von x^x < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Do 17.01.2008 | | Autor: | Pidgin |
Meine Frage ist ob diese Rechnung gültig ist:
[mm] $$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} x^{1/x} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}1/x} [/mm] =0$$
Weil eine positive Zahl kleiner 1 mit [mm] +\infty [/mm] potenziert geht gegen 0.
Welcher Satz spricht eigentlich dagegen, dass ich diese Aufgabe so rechne?
Ich weiß schon das man normalerweise [mm] x^x [/mm] mit [mm] e^{x\cdot ln(x)} [/mm] ersetzt, aber warum?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Do 17.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Meine Frage ist ob diese Rechnung gültig ist:
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> [mm]\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} x^{1/x} = \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}1/x} =0[/mm]
>
> Weil eine positive Zahl kleiner 1 mit [mm]+\infty[/mm] potenziert
> geht gegen 0.
>
> Welcher Satz spricht eigentlich dagegen, dass ich diese
> Aufgabe so rechne?
[mm] $\lim_{x\to\infty} \frac{x}{x}=\lim_{x\to\infty} \frac{\lim_{x\to\infty} x}{x}=\infty$ [/mm] Denn Unendlich durch eine beliebige Zahl dividiert ist immer noch unendlich
[mm] $\lim_{x\to\infty} \frac{x}{x}= \lim_{x\to\infty} \frac{x}{\lim_{x\to\infty} x} [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty} \underbrace{\frac{x}{\infty}}_{=0\ \forall x\in\IR}=0$
[/mm]
[mm] $\lim_{x\to\infty} \frac{x}{x}= \lim_{x\to\infty} [/mm] 1 = 1$
Bzw. um näher an Deinem zu bleiben:
[mm] $\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^x [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty} (1+\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x})^x [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty} 1^x [/mm] = [mm] 1\neq [/mm] e$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Do 17.01.2008 | | Autor: | Pidgin |
Danke für die Gegenbeispiele.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Do 17.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Meine Frage ist ob diese Rechnung gültig ist:
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> [mm]\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} x^{1/x} = \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}1/x} =0[/mm]
>
> Weil eine positive Zahl kleiner 1 mit [mm]+\infty[/mm] potenziert
> geht gegen 0.
>
> Welcher Satz spricht eigentlich dagegen, dass ich diese
> Aufgabe so rechne?
In der Mathe gibt es diese Frage nicht! sondern nur die Frage kann ich diesen Satz -den du verwendet hast- beweisen?
Die Frage"wie solls denn sonst sein ist keine Mathefrage!
d.h. wenn du ihn anwenden würdest, müsstest du ihn erst beweisen!
aber du hast ja inzwischen Gegenbeispiele.
> Ich weiß schon das man normalerweise [mm]x^x[/mm] mit [mm]e^{x\cdot ln(x)}[/mm]
> ersetzt, aber warum?
Weil mans dann beweisen kann! und zwar nicht 0 als GW!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Do 17.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Weil mans dann beweisen kann! und zwar nicht 0 als GW!
[mm] $\lim_{x\to 0^+} x^{1/x}=0$ [/mm] stimmt schon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Meine Frage ist ob diese Rechnung gültig ist:
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> [mm]\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} x^{1/x} = \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}1/x} =0[/mm]
>
> Weil eine positive Zahl kleiner 1 mit [mm]+\infty[/mm] potenziert
> geht gegen 0.
>
> Welcher Satz spricht eigentlich dagegen, dass ich diese
> Aufgabe so rechne?
> Ich weiß schon das man normalerweise [mm]x^x[/mm] mit [mm]e^{x\cdot ln(x)}[/mm]
> ersetzt, aber warum?
Hallo,
geht es hier eigentlich um [mm] $x^x$ [/mm] bei $x [mm] \to 0^{+}$? [/mm] Denn [mm] $x^x$ [/mm] ist schon was anderes als [mm] $x^{\frac{1}{x}}$.
[/mm]
(Es gilt zwar [mm] $x^x=e^{x*\ln(x)}$, [/mm] aber i.a. ist [mm] $x^{\frac{1}{x}} \not= e^{x*\ln(x)}$ [/mm] für $x > 0$, weil ja i.a. [mm] $x^{\frac{1}{x}} \not=x^x$.
[/mm]
Z.B. ist [mm] $2^2=4 \not=1,414213...=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$.)
[/mm]
Wenn Du [mm] $\lim_{x \to 0^{+}}x^{\frac{1}{x}}$ [/mm] meinst, so kann man schon so ähnlich argumentieren, wie Du es getan hast (ich hoffe aber, dass Du siehst, dass meine Argumentation ganz sauber ist  ):
Wegen $x [mm] \to 0^{+}$ [/mm] können wir o.E. $0 < x < [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] annehmen. Dann gilt für jedes $0 < x < [mm] \frac{1}{2}$:
[/mm]
[mm] $x^{\frac{1}{x}} [/mm] < [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$ [/mm]
(Denn: Für festes $x > 0$ ist [mm] $f(r):=r^{\frac{1}{x}}$ [/mm] streng monoton wachsend auf [mm] $\IR_{>0}$, [/mm] und daher ist wegen $0 < x < [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] dann [mm] $f(x)=x^{\frac{1}{x}} [/mm] < [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=f\left(\frac{1}{2}\right)$.)
[/mm]
Es folgt dann mit $x [mm] \to 0^{+}$:
[/mm]
$0 [mm] \le x^{\frac{1}{x}} [/mm] < [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \to [/mm] 0$, da [mm] $\frac{1}{x} \to +\infty$ [/mm] und $0 < [mm] \frac{1}{2} [/mm] < 1$ und damit:
[mm] $\lim_{x \to 0^{+}}x^{\frac{1}{x}}=0$
[/mm]
Aber wie gesagt:
(i) [mm] $\lim_{x \to 0^{+}}x^x=1$
[/mm]
(ii) [mm] $\lim_{x \to 0^{+}}x^{\frac{1}{x}}=0$
[/mm]
sind zwei ganz verschiedene Sachen!
P.S.:
Da Bilder mehr als Tausend Worte sagen können
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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