Grenzwerte mit L'Hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Sa 08.05.2010 | | Autor: | damulon |
| Aufgabe | Berechnen sie die Grenzwerte mit Hilfe der Regel von Bernoulli und l'Hospital:
[mm] a)\limes_{x\rightarrow\infty} x^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
[mm] b)\limes_{x\rightarrow 0} sin(x)^{tan(x)}
[/mm]
[mm] c)\limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{x^8-1}{ln(x^2)} [/mm] |
hoi,
ich hab hier bissl probleme mit den aufgaben:
also bei der c) hab ich ein ergebnis von 4
[mm] \limes_{x\rightarrow\1} \bruch{8x^7}{\bruch{1}{x^2}*2x}=\bruch{8x^7}{\bruch{2}{x}}=4x^8 \Rightarrow 4*(1)^8=4
[/mm]
stimmt die bearbeitung soweit??
mein problem liegt bei der a) und b)
bei der a) bin ich soweit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (e^{lnx})^{\bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{x}*ln(x)}=ln(x)*x^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
jedoch weiß ich jetzt net genau wies weitergehen soll.kann mann dann einfach das x gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen??...oder hab ich davor schon was falsch gemacht??
bei der b) hab ich das gleiche Problem wie bei der a):
bin jetzt bei [mm] sin(x)^{tan(x)} [/mm] * ln(sinx)
hab die gleichen schritte wie bei der a) gemacht..
hoff ihr könnt helfen
lg damulon
|
|
| |
|
Hallo damulon,
> Berechnen sie die Grenzwerte mit Hilfe der Regel von
> Bernoulli und l'Hospital:
> [mm]a)\limes_{x \rightarrow \infty} x^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> [mm]b)\limes_{x \rightarrow 0} sin(x)^{tan(x)}[/mm]
>
> [mm]c)\limes_{x \rightarrow 1} \bruch{x^8-1}{ln(x^2)}[/mm]
> hoi,
> ich hab hier bissl probleme mit den aufgaben:
> also bei der c) hab ich ein ergebnis von 4
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1} \bruch{8x^7}{\bruch{1}{x^2}*2x}=\bruch{8x^7}{\bruch{2}{x}}=4x^8 \Rightarrow 4*(1)^8=4[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> stimmt die bearbeitung soweit??
Ja, aber lasse die Backslashes vor den Grenzwerten am [mm] $\lim$ [/mm] weg, sonst werden sie nicht angezeigt!
>
> mein problem liegt bei der a) und b)
> bei der a) bin ich soweit:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (e^{lnx})^{\bruch{1}{x}}[/mm] =
> [mm]e^{\bruch{1}{x}*ln(x)} [/mm] [mm]=ln(x)*x^{\bruch{1}{x}}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was ist das nun?
Die obige Umschreibung [mm] $x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(x)}$ [/mm] ist Gold wert 
Benutze nun die Stetigkeit der Exponentialfunktion:
[mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}$
[/mm]
Greife dir also den Exponenten [mm] $\frac{\ln(x)}{x}$ [/mm] heraus, schaue, was der so für [mm] $x\to\infty$ [/mm] treibt und nachher dann [mm] $e^{(...)}$ [/mm] nicht vergessen ...
> jedoch weiß ich jetzt net genau wies weitergehen
> soll.kann mann dann einfach das x gegen [mm]\infty[/mm] laufen
> lassen??...oder hab ich davor schon was falsch gemacht??
>
> bei der b) hab ich das gleiche Problem wie bei der a):
> bin jetzt bei [mm]sin(x)^{tan(x)}[/mm] * ln(sinx)
> hab die gleichen schritte wie bei der a) gemacht..
Das ist auch genau der richtige Ansatz, allerdings ist die Umschreibung komisch:
Für $a>0$ ist [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Also [mm] $\sin(x)^{\tan(x)}=e^{\tan(x)\cdot{}\ln(\sin(x))}$
[/mm]
Picke dir wieder den Exponenten heraus, bringe ihn in die richtige Form (Quotienten), um de l'Hôpital anwenden zu können ...
>
> hoff ihr könnt helfen
Das sollte als Ansatz genügen, dass du weiter kommst ....
Viel Erfolg
> lg damulon
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Sa 08.05.2010 | | Autor: | damulon |
hi
danke für die tipps...die helfen echt weiter.
bis densen damion
|
|
|
|
