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| Aufgabe | | Aus 4 gleichlangen Stangen zu je 3m soll ein Zelt in Form einer geraden quadratischen Pyramide aufgestellt werden. Bei welcher Höhe hat sie grötmögliches Volumen? |
Hi!!!!
Ich bin gerade am üben für einen Mahe Test am Freitag!
Habe bereits viel gemacht, doch dieses Beispiel liefert mir eigentlioch nicht wirklich einen Anhaltspunkt.
Vor allem weiß ich nicht, wo ich beginnen soll!
Bitte heelft mir!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Mi 19.09.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Bei Extremalaufgabe geht man so vor:
1. Hauptbedingung
2. Nebenbedingung (irgendwann mal Randwerte festsetzen)
3. Zielfunktion
4. Zielfunktion ableiten
5. Extrempunkte suchen und überprüfen
6. Randwerte überprüfen
Das heißt hier:
Das Volumen soll maximal werden. Die Hauptbedingung setzt sich aus der Formel des Volumens für eine Pyramide zusammen.
In der Nebenbedingung solltest du fehlende Variablen mit bekannten umschreiben können, um dann in der Zielfunktion nur noch eine Unbekannte zu haben.
Versuchs mal 
Gruß ONeill
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also ich habe mir jetzt mal die volumsformel herausgechrieben und geschaut welche variablen ich ersetzen kann - aber ich finde nicht wirklich eine... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aristoteles!
Schneide Deine Pyramide doch mal diagonal durch (also entlang der Diagonalen der Grundfläche und durch die Spitze).
Damit entsteht doch ein gleichschenkliges Dreieck mit den bekannten Schenkellängen $3 \ [mm] \text{m}$ [/mm] . Unbekannt sind uns hier dann nur noch zwei Werte: die Höhe $h_$ sowue die Diagonalenlänge $d_$ .
Aus der Diagonalenlänge $d_$ kann man die Grundeitenlänge $a_$ berechnen mit (wegen quadratischer Grundfläche):
$$d \ = \ [mm] a*\wurzel{2}$$
[/mm]
Druch Anwendung des Satzes von Herrn Pythagoras in unserem gleichschenkligen Dreieck gilt:
[mm] $$h^2+\left(\bruch{d}{2}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 3^2$$
[/mm]
[mm] $$h^2+\left(\bruch{a*\wurzel{2}}{2}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 3^2$$
[/mm]
[mm] $$h^2+\bruch{a^2}{2} [/mm] \ = \ 9$$
Hier nun nach [mm] $a^2 [/mm] \ = \ ...$ umstellen und in die Volumensformel einsetzen:
[mm] $$V_{\text{Pyramide}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*G*h [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*a^2*h$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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hi
hey scheint eigentlich sehr logisch ;)
...
nur ein kleines problem ...
laut lösung soll [mm] h=\wurzel{3} [/mm] sein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aristoteles!
Und wo ist da das Problem? Diesen Wert erhalte ich mit meinem Ansatz auch.
Gruß
Loddar
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was machst du das du auf [mm] \wurzel{3} [/mm] kommst?
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ich kann daraus keine gleichung machen weil links nix is:
V = 1/3 * [mm] 2h^2 [/mm] - 9*h
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| Aufgabe | | wie kann ich aus der "halben" gleichung nun h berechnen? |
bitte erklärt mir das...
habs schon probiert und alles eingesetzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Mi 19.09.2007 | | Autor: | moody |
Loddar hat doch gegeben:
Vpyramide = 1/3 * [mm] a^2 [/mm] * h
Und auch [mm] h^2 [/mm] + [mm] \bruch{a^2}{2} [/mm] = 9
Die letzte Gleichung, hat er auch gesagt nach [mm] a^2 [/mm] umstellen:
2*(9 - [mm] h^2) [/mm] = [mm] a^2
[/mm]
Eingesetzt ergibt das dann:
Vpyramide = 1/3 * (2* (9 - [mm] h^2)) [/mm] * h = 1/3 * (18 - [mm] 2h^2) [/mm] * h = (6 - [mm] 2/3h^2) [/mm] * h = 6h - [mm] \bruch{2}{3} *h^3
[/mm]
Das musst du dann ableiten:
6 - 3*2/3 [mm] h^2 [/mm] = V'
Die muss ja = 0 um die Extrema zu finden also:
0 = 6 - [mm] 2h^2 [/mm] | + [mm] 2h^2
[/mm]
[mm] 2h^2 [/mm] = 6 | :2
[mm] h^2 [/mm] = 3 | [mm] \wurzel{}
[/mm]
h = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Hoffe der Weg ist verständlich.
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danke dir sehr ;) ..ich bin ein trottel ;)
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