Grundaufgaben der Kombinatorik < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Eine Flagge hat 13 Streifen. Jeder Streifen ist entweder rot oder gelb oder blau. Wieviel verschiedene Flaggen dieser Art gibt es, wenn benachbarte Streifen unterschiedliche Farbe haben sollen? |
| Aufgabe 2 | | Wieviel Spiele finden in einem Spieljahr in der Fußball-Bundesliga statt (18 Mannschaften, jede Mannschaft spielt gegen jede andere Hin- und Rückspiel)? |
Meine Idee für Aufgabe 1 ist:
- Flagge mit 13 Streifen [mm] \Rightarrow [/mm] k=13
- Streifen rot oder gelb oder blau [mm] \Rightarrow [/mm] n=3
--> benachbarte Streifen unterschiedliche Farbe
Auswahl erster Streifen [mm] \hat= [/mm] 3 mögliche Farben
Auswahl zweiter Streifen [mm] \hat= [/mm] 2 mögliche Farben
Auswahl dritter Streifen [mm] \hat= [/mm] 2 mögliche Farben
[mm] \ldots
[/mm]
Auswahl dreizehnter Streifen [mm] \hat= [/mm] 2 mögliche Farben
[mm] \Rightarrow [/mm] ab zweiten Streifen 1.Grundaufgabe der Kombinatorik: Variationen mit Wiederholung von n Elmenten zur k-ten Klasse
[mm] V^{k-1}_{n-1}=(n-1)^{k-1}
[/mm]
[mm] V^{12}_{2}=2^{12}=4096
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] erster Streifen besitzt aber 3 mögliche Farben
[mm] n*V^{k-1}_{n-1}=n*(n-1)^{k-1}
[/mm]
[mm] 3*V^{12}_{2}=3*2^{12}=3*4096=12288
[/mm]
Antwort: Es gibt 12288 verschiedene Flaggen mit 13 Streifen, die jeweils rot oder gelb oder blau sind, wobei benachbarte Streifen unterschiedlicher Farben sind.
Meine Idee für Aufgabe 2 ist:
- 18 Mannschaften [mm] \Rightarrow [/mm] n=18
- jeder gegen jeden
--> 2 Mannschaften pro Spiel [mm] \Rightarrow [/mm] k=2
[mm] \Rightarrow [/mm] 3. Grundaufgabe der Kombinatorik: Kombinationen ohne Wiederholung von n Elementen zur k-ten Klasse
[mm] C^{k}_{n}=\vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!*(n-k)!}
[/mm]
[mm] C^{2}_{18}=\vektor{18 \\ 2}=\bruch{18!}{2!*16!}=153
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Hin- und Rückrunde
--> 2-mal
[mm] 2*C^{k}_{n}=2*\vektor{n \\ k}=2*\bruch{n!}{k!*(n-k)!}
[/mm]
[mm] 2*C^{2}_{18}=2*\vektor{18 \\ 2}=2*\bruch{18!}{2!*16!}=2*153=306
[/mm]
Antwort: Bei 18 Mannschaften finden in einer Spielsaison der Bundesliga mit Hin- und Rückrunde 306 Spiele statt.
Würde mich über Rückmeldungen, ob dies korrekt ist, oder über Verbesserungen und Hinweise freuen.
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Hallo,
> Eine Flagge hat 13 Streifen. Jeder Streifen ist entweder
> rot oder gelb oder blau. Wieviel verschiedene Flaggen
> dieser Art gibt es, wenn benachbarte Streifen
> unterschiedliche Farbe haben sollen?
> Wieviel Spiele finden in einem Spieljahr in der
> Fußball-Bundesliga statt (18 Mannschaften, jede Mannschaft
> spielt gegen jede andere Hin- und Rückspiel)?
> Meine Idee für Aufgabe 1 ist:
>
> - Flagge mit 13 Streifen [mm]\Rightarrow[/mm] k=13
>
> - Streifen rot oder gelb oder blau [mm]\Rightarrow[/mm] n=3
>
> --> benachbarte Streifen unterschiedliche Farbe
>
> Auswahl erster Streifen [mm]\hat=[/mm] 3 mögliche Farben
> Auswahl zweiter Streifen [mm]\hat=[/mm] 2 mögliche Farben
> Auswahl dritter Streifen [mm]\hat=[/mm] 2 mögliche Farben
>
> [mm]\ldots[/mm]
>
> Auswahl dreizehnter Streifen [mm]\hat=[/mm] 2 mögliche Farben
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ab zweiten Streifen 1.Grundaufgabe der
> Kombinatorik: Variationen mit Wiederholung von n Elmenten
> zur k-ten Klasse
> [mm]V^{k-1}_{n-1}=(n-1)^{k-1}[/mm]
> [mm]V^{12}_{2}=2^{12}=4096[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] erster Streifen besitzt aber 3 mögliche
> Farben
> [mm]n*V^{k-1}_{n-1}=n*(n-1)^{k-1}[/mm]
> [mm]3*V^{12}_{2}=3*2^{12}=3*4096=12288[/mm]
>
> Antwort: Es gibt 12288 verschiedene Flaggen mit 13
> Streifen, die jeweils rot oder gelb oder blau sind, wobei
> benachbarte Streifen unterschiedlicher Farben sind.
Richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Meine Idee für Aufgabe 2 ist:
>
> - 18 Mannschaften [mm]\Rightarrow[/mm] n=18
>
> - jeder gegen jeden
>
> --> 2 Mannschaften pro Spiel [mm]\Rightarrow[/mm] k=2
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 3. Grundaufgabe der Kombinatorik: Kombinationen
> ohne Wiederholung von n Elementen zur k-ten Klasse
>
> [mm]C^{k}_{n}=\vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!*(n-k)!}[/mm]
>
> [mm]C^{2}_{18}=\vektor{18 \\ 2}=\bruch{18!}{2!*16!}=153[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Hin- und Rückrunde
> --> 2-mal
> [mm]2*C^{k}_{n}=2*\vektor{n \\ k}=2*\bruch{n!}{k!*(n-k)!}[/mm]
>
> [mm]2*C^{2}_{18}=2*\vektor{18 \\ 2}=2*\bruch{18!}{2!*16!}=2*153=306[/mm]
>
> Antwort: Bei 18 Mannschaften finden in einer Spielsaison
> der Bundesliga mit Hin- und Rückrunde 306 Spiele statt.
Auch richtig, aber so kompliziert habe ich das bisher noch nie betrachtet: für mich sind das 9 Spiele pro Spieltag, und davon gibt es 2x17=34. Damit momme ich auch auf 34x9=306 Spiele. 
Gruß, Diophant
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Danke für deine schnelle Rückmeldung.
Ich weiß, dass man dies auch einfacher, wie du beschrieben hast, ausrechnen kann.
Da wir aber momentan die Grundaufgaben der Kombinatorik behandeln, habe ich es mit der 3. Grundaufgabe versucht.
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| Aufgabe | | Wieviel Diagonalen besitzt ein konvexes n-Eck, n [mm] \ge [/mm] 3, n [mm] \in \IN? [/mm] |
Meine Idee ist:
- jede Ecke des n-Ecks nicht mit sich selbst und benachbarte Ecken verbunden
[mm] \Rightarrow [/mm] (n-3) Verbindungen pro Ecke
[mm] \Rightarrow [/mm] n*(n-3) Diagonalen
[mm] \Rightarrow [/mm] verbundene Ecken einmal als Start- und einmal als Zielpunkt
[mm] \Rightarrow \bruch{n*(n-3)}{2} [/mm] Diagonalen
Antwort: Ein konvexes n-Eck besitzt [mm] \bruch{n*(n-3)}{2} [/mm] Diagonalen.
Ist dies korrekt?
Könnte man dies auch über eine Grundaufgabe der Kombinatorik lösen?
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Hallo,
> Wieviel Diagonalen besitzt ein konvexes n-Eck, n [mm]\ge[/mm] 3, n
> [mm]\in \IN?[/mm]
> Meine Idee ist:
>
> - jede Ecke des n-Ecks nicht mit sich selbst und
> benachbarte Ecken verbunden
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (n-3) Verbindungen pro Ecke
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] n*(n-3) Diagonalen
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] verbundene Ecken einmal als Start- und einmal
> als Zielpunkt
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{n*(n-3)}{2}[/mm] Diagonalen
>
> Antwort: Ein konvexes n-Eck besitzt [mm]\bruch{n*(n-3)}{2}[/mm]
> Diagonalen.
>
>
> Ist dies korrekt?
>
> Könnte man dies auch über eine Grundaufgabe der
> Kombinatorik lösen?
Es ist richtig. Eine Grundaufgabe wäre es meiner Ansicht nach erst in dem Moment, wo man die Seitenkanten auch mitzählt. Dann wäre es einfach die Frage nach den Verbindungsstrecken zweier beliebiger Eckpunkte, und damit Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge:
[mm] z=\vektor{n\\2}=\bruch{n*(n-1)}{2}
[/mm]
Beachte den Unterschied zu deiner Zählformel. Er entsteht ja, weil man bei jedem Punkt noch zwei mögliche Strecken streichen muss.
Gruß, Diophant
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Danke für deine Hilfe. Hast mir gut weitergeholfen.
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