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Hallo Leute!
Bei folgender Frage geht es mir um den relativen Fehler bei der Multiplikation. Ich verstehe dort die Abschätzungen nicht. Dazu seien [mm] $\epsilon_1$ [/mm] und [mm] $\epsilon_2$ [/mm] die relativen Eingabefehler von [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$. [/mm] Es gilt also [mm] $\widetilde{x}_i [/mm] := [mm] x_i [/mm] + [mm] \epsilon_ix_i$ [/mm] für $i = 1,2$.
Sei [mm] $f\left(x_1,x_2\right) [/mm] := [mm] x_1x_2$. [/mm] Wir schätzen ab:
[mm] $\frac{\widetilde{x}_1\widetilde{x}_2 - x_1x_2}{\left|x_1x_2\right|} [/mm] = [mm] \left|\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_1\epsilon_2\right| {\color{red}\le} \left|\epsilon_1 + \epsilon_2\right|$
[/mm]
Zu der roten Abschätzung steht in meiner Mitschrift: "bei Vernachlässigung der Terme höherer Ordnung...". Wie ist das zu verstehen?
Danke für eure Mühe!
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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Hallo Karl,
Die Terme höherer Ordnung( also Fehler zum Quadrat, hoch 3 usw.) sind bei diesen Fehlern deutlich kleiner als die Terme erster Ordnung. Was daran liegt das die relativen Fehler bei Computerrechnung deutlich kleiner 1 sind.
z.B. 2 Dezimalstellen Genauigkeit
[mm]x_1=x_2=1.04999999999\approx 1[/mm]
[mm]\epsilon_1=0.05[/mm]
[mm]\epsilon_2=0.05[/mm]
[mm]\epsilon_1*\epsilon_2=0.0025[/mm]
Selbst wenn man mit den richtigen Eingangswerten rechnet und das Ergebnis dann rundet würde der Term höherer Ordnung wegfallen.
viele Grüße
mathemaduenn
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