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| Aufgabe | Sei M eine Menge. Wir betrachten ihre Potenzmenge
P(M) = {N |N [mm] \subseteq [/mm] M}. Für zwei N1,N2 [mm] \in [/mm] P(M) definieren wir
N1 [mm] \Delta [/mm] N2 := (N1 [mm] \cup [/mm] N2) \ (N1 [mm] \cap [/mm] N2) = {m [mm] \in [/mm] M |m ist entweder in N1 oder N2} .
(i) Zeigen Sie, dass für alle N [mm] \subset [/mm] M gilt: [mm] \emptyset \Delta [/mm] N = N.
(ii) Zeigen Sie, dass für alle N1,N2,N3 [mm] \in [/mm] P(M) gilt:
(N1 [mm] \Delta [/mm] N2) [mm] \Delta [/mm] N3 = N1 [mm] \Delta [/mm] (N2 [mm] \Delta [/mm] N3).
(iii) Finden Sie für alle N [mm] \in [/mm] P(M) ein N' [mm] \in [/mm] P(M) mit N' [mm] \Delta [/mm] N = [mm] \emptyset.
[/mm]
(iv) (3 Punkte) (Aufgrund von (i)–(iii) ist (P(M), [mm] \Delta [/mm] ) eine Gruppe. Für welche
Mengen M ist diese Gruppe kommutativ? Begründen Sie! |
So und nun hänge ich schon bei i, weil die leere Menge doch eine Teilmenge jeder Menge ist. Und somit ist [mm] \emptyset \cap [/mm] N [mm] =\emptyset, [/mm] oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mo 23.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Big_Head,
> So und nun hänge ich schon bei i, weil die leere Menge
> doch eine Teilmenge jeder Menge ist.
Ja.
> Und somit ist
> [mm]\emptyset \cap[/mm] N [mm]=\emptyset,[/mm] oder?
Zwar nicht "somit", aber es stimmt.
Wo ist genau das Problem? Zeigen sollst du ja [mm] $\emptyset\Delta [/mm] N=N$.
Viele Grüße
Tobias
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Ok, ich habe jetzt aufgeschrieben:
[mm] \emptyset \Delta [/mm] N = ( [mm] \emptyset \cup [/mm] N ) \ ( [mm] \emptyset \cap [/mm] N)
( [mm] \emptyset \cup [/mm] N ) = N und ( [mm] \emptyset \cap [/mm] N) = [mm] \emptyset
[/mm]
also ( [mm] \emptyset \cup [/mm] N ) \ ( [mm] \emptyset \cap [/mm] N) = N \ [mm] \emptyset [/mm] = N
recht so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mo 23.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ok, ich habe jetzt aufgeschrieben:
>
> [mm]\emptyset \Delta[/mm] N = ( [mm]\emptyset \cup[/mm] N ) \ ( [mm]\emptyset \cap[/mm]
> N)
>
> ( [mm]\emptyset \cup[/mm] N ) = N und ( [mm]\emptyset \cap[/mm] N) =
> [mm]\emptyset[/mm]
>
> also ( [mm]\emptyset \cup[/mm] N ) \ ( [mm]\emptyset \cap[/mm] N) = N \
> [mm]\emptyset[/mm] = N
>
> recht so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, sehr schön!
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so weiter...
ii) z.z.: (N1 [mm] \Delta [/mm] N2) [mm] \Delta [/mm] N3= N1 [mm] \Delta [/mm] (N2 [mm] \Delta [/mm] N3)
(N1 [mm] \Delta [/mm] N2) [mm] \Delta [/mm] N3=((N1 [mm] \cup [/mm] N2) [mm] \cup [/mm] N3) \ ((N1 [mm] \cap [/mm] N2) [mm] \cap [/mm] N3)
=(N1 [mm] \cup [/mm] N2 [mm] \cup [/mm] N3) \ (N1 [mm] \cap [/mm] N2 [mm] \cap [/mm] N3)
=(N1 [mm] \cup [/mm] (N2 [mm] \cup [/mm] N3)) \ (N1 [mm] \cap [/mm] (N2 [mm] \cap [/mm] N3))
= N1 [mm] \Delta [/mm] (N2 [mm] \Delta [/mm] N3)
iii) Sei N'=N [mm] \Rightarrow [/mm] N [mm] \Delta [/mm] N= (N [mm] \cup [/mm] N) \ (N [mm] \cap [/mm] N)
N [mm] \cup [/mm] N=N und N [mm] \cap [/mm] N=N
[mm] \Rightarrow [/mm] N [mm] \Delta [/mm] N=N \ N= {}
Also ist jedes N invers zu sich selbst, oder?
iiii) ich frage mich gerade, für welche Mengen M sie nicht kommutativ ist...hat jemand einen Tipp für mich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> ii) z.z.: (N1 [mm]\Delta[/mm] N2) [mm]\Delta[/mm] N3= N1 [mm]\Delta[/mm] (N2 [mm]\Delta[/mm]
> N3)
>
> (N1 [mm]\Delta[/mm] N2) [mm]\Delta[/mm] N3=((N1 [mm]\cup[/mm] N2) [mm]\cup[/mm] N3) \ ((N1 [mm]\cap[/mm]
> N2) [mm]\cap[/mm] N3)
> =(N1 [mm]\cup[/mm] N2 [mm]\cup[/mm] N3) \ (N1 [mm]\cap[/mm] N2 [mm]\cap[/mm] N3)
> =(N1 [mm]\cup[/mm] (N2 [mm]\cup[/mm] N3)) \ (N1 [mm]\cap[/mm] (N2 [mm]\cap[/mm] N3))
> = N1 [mm]\Delta[/mm] (N2 [mm]\Delta[/mm] N3)
Erste und letzte Gleichheit stimmen nicht.
Mir erscheint es hier einfacher, elementweise die beiden Inklusionen (Teilmengenbeziehungen) zu verifizieren. Nutze dazu am besten die Darstellung $N1 [mm] \Delta [/mm] N2$ = [mm] $\{m \in M$ |$m$ ist entweder in $N1$ oder $N2\}$.
[/mm]
> iii) Sei N'=N [mm]\Rightarrow[/mm] N [mm]\Delta[/mm] N= (N [mm]\cup[/mm] N) \ (N [mm]\cap[/mm]
> N)
> N [mm]\cup[/mm] N=N und N [mm]\cap[/mm] N=N
> [mm]\Rightarrow[/mm] N [mm]\Delta[/mm] N=N \ N= {}
> Also ist jedes N invers zu sich selbst, oder?
Wieder sehr schön!
> iiii) ich frage mich gerade, für welche Mengen M sie nicht
> kommutativ ist...hat jemand einen Tipp für mich?
Du bist absolut auf dem richtigen Pfad!
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ich habe für ii) jetzt:
[mm]N1 \Delta N2[/mm] = [mm]\{m \in M[/mm] |[mm]m[/mm] ist entweder in [mm]N1[/mm] oder [mm]N2\}[/mm].
[mm] \Rightarrow [/mm] (N1 [mm] \Delta [/mm] N2) [mm] \Delta [/mm] N3 = { m' in (N1 oder N2) oder N3 }
[mm] \Rightarrow [/mm] N1 [mm] \Delta [/mm] (N2 [mm] \Delta [/mm] N3) = { m' in N1 oder (N2 oder N3) }
[mm] \Rightarrow [/mm] assoziativ
und iv)
Annahme: N1 [mm] \Delta [/mm] N2 ist kommutativ für alle Ni [mm] \in [/mm] P(M)
z.z.: N1 [mm] \Delta [/mm] N2 = N2 [mm] \Delta [/mm] N1
N1 [mm] \cup [/mm] N2 = N2 [mm] \cup [/mm] N1 = N* und N1 [mm] \cap [/mm] N2 = N2 [mm] \cap [/mm] N1 = N'
[mm] \Rightarrow [/mm] N1 [mm] \Delta [/mm] N2 = N* \ N' = N2 [mm] \Delta [/mm] N1
[mm] \Rightarrow [/mm] kommutativ
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> ich habe für ii) jetzt:
>
> [mm]N1 \Delta N2[/mm] = [mm]\{m \in M[/mm] |[mm]m[/mm] ist entweder in [mm]N1[/mm] oder [mm]N2\}[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (N1 [mm]\Delta[/mm] N2) [mm]\Delta[/mm] N3 = { m' in (N1 oder N2)
> oder N3 }
Beachte, dass es "ENTWEDER oder" heißt! D.h. die Elemente von [mm] $N1\Delta [/mm] N2$ sind genau die Elemente von $M$, die in GENAU einer der beiden Mengen $N1$ und $N2$ liegen.
Du kannst so starten:
[mm] "$\subseteq$": [/mm] Sei [mm] $m\in(N1\Delta N2)\Delta [/mm] N3$. Dann gilt entweder 1. [mm] $m\in N1\Delta [/mm] N2$ oder 2. [mm] $m\in [/mm] N3$.
Nun eine Fallunterscheidung nach den beiden möglichen Fällen. Ich führe dir mal den ersten vor:
1. Falls [mm] $m\in N1\Delta [/mm] N2$ (und somit [mm] $m\not\in [/mm] N3$), gilt entweder a. [mm] $m\in [/mm] N1$ oder b. [mm] $m\in [/mm] N2$.
Erneute Fallunterscheidung innerhalb des 1. Falles:
a. Im Falle [mm] $m\in [/mm] N1$ gilt wegen [mm] $m\not\in [/mm] N2$ und [mm] $m\not\in [/mm] N3$ auch [mm] $m\not\in N2\Delta [/mm] N3$. Wegen [mm] $m\in [/mm] N1$ folgt somit wie gewünscht [mm] $m\in N1\Delta (N2\Delta [/mm] N3)$.
b. ...
2. ...
Falls jemand einen einfacheren Weg sieht, möge er/sie ihn bitte posten!
> und iv)
>
> Annahme: N1 [mm]\Delta[/mm] N2 ist kommutativ für alle Ni [mm]\in[/mm] P(M)
>
> z.z.: N1 [mm]\Delta[/mm] N2 = N2 [mm]\Delta[/mm] N1
>
> N1 [mm]\cup[/mm] N2 = N2 [mm]\cup[/mm] N1 = N* und N1 [mm]\cap[/mm] N2 = N2 [mm]\cap[/mm] N1 =
> N'
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] N1 [mm]\Delta[/mm] N2 = N* \ N' = N2 [mm]\Delta[/mm] N1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] kommutativ
Schön!
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Weise ich hier nicht mehr nach als ich muss, denn schon der Fall 1. b. zeigt:
m [mm] \in [/mm] N2 [mm] \Rightarrow [/mm] m [mm] \not\in [/mm] N1 , m [mm] \not\in [/mm] N3 [mm] \Rightarrow [/mm] m [mm] \not\in [/mm] N1 [mm] \Delta [/mm] N3 [mm] \Rightarrow [/mm] m [mm] \in [/mm] N2 [mm] \Delta [/mm] (N1 [mm] \Delta [/mm] N3)
Für mich sieht das so aus, als ob ich sowohl die Assoziativität als auch die Kommutativität zeigen würde. Stimmt meine Vermutung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Do 26.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Weise ich hier nicht mehr nach als ich muss, denn schon der
> Fall 1. b. zeigt:
>
> m [mm]\in[/mm] N2 [mm]\Rightarrow[/mm] m [mm]\not\in[/mm] N1 , m [mm]\not\in[/mm] N3
> [mm]\Rightarrow[/mm] m [mm]\not\in[/mm] N1 [mm]\Delta[/mm] N3 [mm]\Rightarrow[/mm] m [mm]\in[/mm] N2
> [mm]\Delta[/mm] (N1 [mm]\Delta[/mm] N3)
>
> Für mich sieht das so aus, als ob ich sowohl die
> Assoziativität als auch die Kommutativität zeigen würde.
> Stimmt meine Vermutung?
Dass die Kommutativität mitbewiesen wird, kann ich nicht erkennen.
Deine Schlussfolgerungen stimmen. Die letzten beiden helfen uns nicht weiter, die Assoziativität zu zeigen. Wir wollen ja [mm] $m\in N1\Delta(N2\Delta [/mm] N3)$ zeigen. Aber das schaffst du sicherlich!
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