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| Aufgabe | Es sei G eine nicht-leere Menge mit einer inneren Verknüpfung *:G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G, welche die folgenden Axiome erfüllt:
(AG) Assoziativgesetz: Für alle g,h,k [mm] \in [/mm] G gilt (g*h)*k=g*(h*k)
(RNE) Existenz eines rechtsneutralen Elements: Es existiert ein Element e [mm] \in [/mm] G mit g*e=g für alle g [mm] \in [/mm] G. Man nennt e ein rechtsneutrales Element (in G bzgl. *).
(RIE) Existenz eines rechtsinversen Elements: Für alle g [mm] \in [/mm] G existiert ein h [mm] \in [/mm] G mit g*h=e.
Zeigen Sie, dass G mit der angegebenen Verknüpfung eine Gruppe ist, gehen Sie hierzu wie folgt vor:
a) Zeigen Sie zuerst, dass ein rechtsinverses Element auch linksinvers ist
b) Folgern Sie danach, dass jedes rechtsneutrale Element auch linksneutral ist. |
Hallo,
bin ein wenig am Verzweifeln bei dieser Aufgabe, ich komme einfach nicht auf den Trick bei a), ich hab schon einiges durchprobiert aber leider immer ergebnislos und bräuchte hier mal einen kleinen Ansatz.
zu b) hatte ich folgende idee:
Sei g [mm] \in [/mm] G und h (= [mm] g^{-1}) [/mm] das inverse Element zu g, dann gilt
g*e = g*(h*g) = (g*h)*g = e*g
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> zu b) hatte ich folgende idee:
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> Sei g [mm]\in[/mm] G und h (= [mm]g^{-1})[/mm] das inverse Element zu g, dann
> gilt
>
> g*e = g*(h*g) = (g*h)*g = e*g
Hallo,
schreib vorweg noch
"für alle [mm] g\in [/mm] G gibt es ein [mm] h\in [/mm] g mit....
Also ist ..."
Dann an jeder Stelle das verwendete Gesetz erwähnen.
Ein Tip zu a)
Starte mit
Für alle g $ [mm] \in [/mm] $ G existiert ein h $ [mm] \in [/mm] $ G mit g*h=e.
Nun multipliziere beide Seiten von vorne mit h.
Etwas später mußt Du noch verwenden, daß natürlich auch h ein inverses Element c hat mit h*c=e.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 So 11.11.2007 | | Autor: | rainman_do |
Ah...sehr schön, vielen Dank.
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