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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:17 Mo 14.11.2016 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | Sei [mm](G, \circ) [/mm] eine endliche abelsche Gruppe. Für [mm]g \in G[/mm] sei die Ordnung von [mm]g[/mm]
[mm] ord(g) = m[/mm] mit [mm]m \in \IN[/mm] so dass [mm]g^m = e[/mm] ist. Zeigen Sie, dass [mm] ord(g)[/mm] stets die Gruppenordnung
von [mm]G[/mm] teilt. |
Hallo,
ich habe die Aufgabe wie folgt, bin mir aber nicht sicher, ob ich doch nicht einen Fehler in meiner Lösung habe.
Lösung:
Beweis durch Widerspruch:
Annahme: [mm]m[/mm] teilt nicht stets die Gruppenordnung [mm]|G|[/mm].
Dann gilt: [mm]|G| = m * k + r[/mm] mit [mm]0 < r < m [/mm] und [mm]k \in \IN_0[/mm]
[mm]g^r = g^{|G|-m*k}[/mm]
[mm]g^r = g^{|G|}*g^{-m*k}[/mm]
[mm]g^r = g^{|G|}*{(g^{m})^{-k}}[/mm]
[mm]g^r = e*{e^{-k}}[/mm]
[mm]g^r = e*\frac{1}{e^{k}}}[/mm]
[mm]g^r = e*\frac{1}{e}[/mm]
[mm]g^r = 1 \Rightarrow r = 0[/mm] Das ist aber ein Widerspruch zur Bedingung in der Annahme mit [mm]0
Würde mich über Hinweise auf mögliche Fehler oder Bestätigung freuen :)
Danke vorab
Viele Grüße
Asg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Mo 14.11.2016 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm](G, \circ)[/mm] eine endliche abelsche Gruppe. Für [mm]g \in G[/mm]
> sei die Ordnung von [mm]g[/mm]
> [mm]ord(g) = m[/mm] mit [mm]m \in \IN[/mm] so dass [mm]g^m = e[/mm] ist. Zeigen Sie,
> dass [mm]ord(g)[/mm] stets die Gruppenordnung
> von [mm]G[/mm] teilt.
>
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabe wie folgt, bin mir aber nicht sicher,
> ob ich doch nicht einen Fehler in meiner Lösung habe.
>
> Lösung:
> Beweis durch Widerspruch:
>
> Annahme: [mm]m[/mm] teilt nicht stets die Gruppenordnung [mm]|G|[/mm].
> Dann gilt: [mm]|G| = m * k + r[/mm] mit [mm]0 < r < m[/mm] und [mm]k \in \IN_0[/mm]
>
> [mm]g^r = g^{|G|-m*k}[/mm]
> [mm]g^r = g^{|G|}*g^{-m*k}[/mm]
> [mm]g^r = g^{|G|}*{(g^{m})^{-k}}[/mm]
>
> [mm]g^r = e*{e^{-k}}[/mm]
> [mm]g^r = e*\frac{1}{e^{k}}}[/mm]
> [mm]g^r = e*\frac{1}{e}[/mm]
>
> [mm]g^r = 1 \Rightarrow r = 0[/mm]
Aufgrund der minimalen Wahl von $m$! Wäre $m$ irgendeine Zahl mit [mm] $g^{m}=e$, [/mm] dann wäre der Schluss auf $r=0$ falsch.
> Das ist aber ein Widerspruch zur
> Bedingung in der Annahme mit [mm]0
>
> Würde mich über Hinweise auf mögliche Fehler oder
> Bestätigung freuen :)
Wenn [mm] $g^{|G|}= [/mm] e$ bekannt ist, dann ist Dein Beweis in Ordnung.
>
> Danke vorab
>
> Viele Grüße
>
> Asg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Mo 14.11.2016 | | Autor: | asg |
Guten Morgen und Dankeschön für die schnelle Hilfe.
> Aufgrund der minimalen Wahl von [mm]m[/mm]! Wäre [mm]m[/mm] irgendeine Zahl
> mit [mm]g^{m}=e[/mm], dann wäre der Schluss auf [mm]r=0[/mm] falsch.
Stimmt, das habe ich übersehen. Aber doch auch aufgrund der Bedingung in der Annahme [mm]0 < r < m [/mm] wäre der Schluss auf [mm] r = 0 [/mm] falsch oder nicht??
> Wenn [mm]g^{|G|}= e[/mm] bekannt ist, dann ist Dein Beweis in Ordnung.
>
Ja [mm]g^{|G|} = e [/mm] ist als Satz im Skript angegeben und ich verweise darauf (hier habe ich es ausgelassen ...)
Danke nochmals
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> Guten Morgen und Dankeschön für die schnelle Hilfe.
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> > Aufgrund der minimalen Wahl von [mm]m[/mm]! Wäre [mm]m[/mm] irgendeine Zahl
> > mit [mm]g^{m}=e[/mm], dann wäre der Schluss auf [mm]r=0[/mm] falsch.
>
> Stimmt, das habe ich übersehen. Aber doch auch aufgrund
> der Bedingung in der Annahme [mm]0 < r < m[/mm] wäre der Schluss
> auf [mm]r = 0[/mm] falsch oder nicht??
>
Hallo,
Du hast am Ende [mm] g^r=1 [/mm] für 0<r<m.
Der Widerspruch ergibt nun sich daraus, daß m voraussetzungsgemäß die Ordnung von g ist, also die kleinste natürliche Zahl, für die [mm] g^m=1 [/mm] ist.
Deshalb kann [mm] g^r=1 [/mm] nicht sein.
Damit hast Du einen Widerspruch, also teilt m die Gruppenordnung.
Wenn man einfach nur hat [mm] g^k=1, [/mm] ohne daß k die Ordnung von g ist, funktioniert die Argumentation für "dann teilt k die Gruppenordnung" nicht - kein Wunder, dann stimmt sie ja auch nicht.
LG Angela
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