Häufungspunkt - Grenzwert-Erkl < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Mi 09.12.2009 | | Autor: | LariC |
Hallo, hätte mal eine Verständnisfrage, weil ich das einfach nicht verstehe:
Warum gilt: X0=0
[mm] \exists \limes_{x\rightarrow\x0} [/mm] (sin 1/x)
und warum auch:
[mm] \exists \limes_{x\rightarrow\ x0} [/mm] (x*sin 1/x)
Wie hat man sich das vorzustellen und wie könnte man sich das vortsllen oder zeigen - ich darf sowas ja nicht einfach so behapten!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, hätte mal eine Verständnisfrage, weil ich das
> einfach nicht verstehe:
> Warum gilt: X0=0
>
> [mm]\exists \limes_{x\rightarrow\x0}[/mm] (sin 1/x)
Dieser Grenzwert existiert nicht !! Wie kommst Du darauf, dass er existiert ?
> und warum auch:
>
> [mm]\exists \limes_{x\rightarrow\ x0}[/mm] (x*sin 1/x)
Dieser existiert, denn
$|(x*sin (1/x))| = |x|*|sin(1/x)| [mm] \le [/mm] |x| $ für x [mm] \not=0,
[/mm]
also: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x*sin [/mm] (1/x)= 0$
FRED
>
> Wie hat man sich das vorzustellen und wie könnte man sich
> das vortsllen oder zeigen - ich darf sowas ja nicht einfach
> so behapten!
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mi 09.12.2009 | | Autor: | LariC |
Oh...naja - ich dachte, ´dass sin ja eine stetige Funktion ist, das würde ja bedeuten, dass rechts- und linksseitiger Grenzwert an der Stelle x0=0 gleich wären und damit würde auch für sin 1/x ein GW existieren.
Was spricht denn dagegen?
Die zweite würde damit ja trotzdem noch funktionieren?!
Aber das ist es eben - ich glaube ich habe das Prinzip noch nicht so wirklich verstanden...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Oh...naja - ich dachte, ´dass sin ja eine stetige Funktion
> ist, das würde ja bedeuten, dass rechts- und linksseitiger
> Grenzwert an der Stelle x0=0 gleich wären und damit würde
> auch für sin 1/x ein GW existieren.
> Was spricht denn dagegen?
Sei $f(x) = sin(1/x)$ Es gibt Nullfolgen [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (z_n) [/mm] mit:
[mm] $f(x_n) [/mm] =1, [mm] f(z_n) [/mm] =0$ für jedes n
Finde mal solche Folgen.
FRED
> Die zweite würde damit ja trotzdem noch funktionieren?!
>
> Aber das ist es eben - ich glaube ich habe das Prinzip noch
> nicht so wirklich verstanden...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mi 09.12.2009 | | Autor: | LariC |
Ich weiß jetzt nicht genau, ob ich dich richtig veratnden habe, meinst du die konstanten funktionen:
f(x)=1 und f(x)=0
Sry - aber was soll mir das bringen, etwa , dass 1/0 immer undefinierrt ist, weil ich es nicht teilen darf? - Achso - deswegen hat die erste Funktion keinen GE, weil ich ja für x nie 0 seinsetzten darf, aschso. Loisch :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich weiß jetzt nicht genau, ob ich dich richtig veratnden
> habe, meinst du die konstanten funktionen:
>
> f(x)=1 und f(x)=0
Nein. Lies nochmal , was ich oben geschrieben habe !
>
> Sry - aber was soll mir das bringen, etwa , dass 1/0 immer
> undefinierrt ist, weil ich es nicht teilen darf? - Achso -
> deswegen hat die erste Funktion keinen GE, weil ich ja für
> x nie 0 seinsetzten darf, aschso. Loisch :)
Quatsch ! In $x*sin(1/x)$ darfst Du für x auch nicht 0 einsetzen, trotzdem ex. der Grenzwert
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 09.12.2009 | | Autor: | LariC |
Also ich soll nullfolgen finden, die einmal an der Stelle x0= 1und einmal bei x0=0 sind!
Also dann :
f(x)=1/x
und
f`(x)=cos(1/x) - hier wäre f(0)=1 und der grenwert 0
|
|
|
| |
|
> Also ich soll nullfolgen finden, die einmal an der Stelle
> x0= 1und einmal bei x0=0 sind!
hallo,
irgendwie hast Du den von Fred erteilten Auftrag nur mit sehr eingeschränktem Blickwinkel gelesen.
Da stand doch dies:
"Sei $ f(x) = sin(1/x) $ Es gibt Nullfolgen $ [mm] (x_n) [/mm] $ und $ [mm] (z_n) [/mm] $ mit:
$ [mm] f(x_n) [/mm] =1, [mm] f(z_n) [/mm] =0 $ für jedes n
Finde mal solche Folgen. "
Es geht doch darum zu zeigen, daß f(x)=sin(1/x) an der Stelle x=0 keinen Grenzwert hat.
Das ist (studiere(!) die einschlägigen Definitionen!) der Fall, wenn nicht für alle Folgen [mm] x_n, [/mm] die gegen 0 konvergieren, die Folge der Funktionswerte [mm] f(x_n) [/mm] gegen einen gemeinsamen Wert konvergiert.
Zwei solche Folgen [mm] x_n [/mm] und [mm] z_n, [/mm] die beide gegen 0 konvergieren, für die aber die Folgen [mm] f(x_n)=sin(1/x_n) [/mm] und [mm] f(z_n)=sin(1/z_n) [/mm] einmal gegen 0 und einmal gegen 1 konvergieren, sollst Du suchen.
Vielleicht ist es nützlich, wenn Du Dir die Funktion sin(1/x) mal plottest. Im Angesichte des Plots ahnt man schon, daß die Funktion ander Stelle x=0 keinen GW hat.
Schau Dir im Gegensatz dazu mal x*sin(x) an. Der Vergleich ist lehrreich.
> Also ich soll nullfolgen finden, die einmal an der Stelle
> x0= 1und einmal bei x0=0 sind!
>
> Also dann :
>
> f(x)=1/x
> und
> f'(x)=cos(1/x) - hier wäre f(0)=1 und der grenwert 0
Weiß der Geier, was Dich hier geritten hat. Folgen sehe ich jedenfalls keine...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Mi 09.12.2009 | | Autor: | LariC |
Ok...sry. Ich weiß manchmal mal sind meine Antworten echt blöde, aber nur so kann man ja lerenen.
Also grafisch habe ich es jetzt kapiert und ich hoffe das mit den Folgen ist jetzt auch so richtig!
Nämlich
an= [mm] 1/2*\pi*n
[/mm]
und dann halt um einmal 1 und einmal 0 zu haben:
bn= [mm] 1/(\pi/2)+2*\pi*n
[/mm]
Wenn das jetzt so richtig ist habe ich es jetzt wohl kapiert. danke euch...
|
|
|
| |
|
> Ok...sry. Ich weiß manchmal mal sind meine Antworten echt
> blöde, aber nur so kann man ja lerenen.
> Also grafisch habe ich es jetzt kapiert und ich hoffe das
> mit den Folgen ist jetzt auch so richtig!
> Nämlich
> an= [mm]1/\red{(}2*\pi*n\red)}[/mm]
> und dann halt um einmal 1 und einmal 0 zu haben:
> bn= [mm]1/\red{(}(\pi/2)+2*\pi*n\red)}[/mm]
>
> Wenn das jetzt so richtig ist habe ich es jetzt wohl
> kapiert. danke euch...
Hallo,
Du hast den richtigen Gedankenweg einschlagen, mußt die Idee aber noch etwas ausfeilen. ihn aber auch korrekt aufschreiben.
[mm] a_n [/mm] liefert Dir eingesetzt die 1, [mm] b_n [/mm] die 0.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also ich soll nullfolgen finden, die einmal an der Stelle
> x0= 1und einmal bei x0=0 sind!
>
> Also dann :
>
> f(x)=1/x
> und
> f'(x)=cos(1/x) - hier wäre f(0)=1 und der grenwert 0
Ich kanns mir mal wieder nicht verkneifen:
reverend würde hierzu sicher sagen: denn sie wissen nicht was sie tun.
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Mi 09.12.2009 | | Autor: | LariC |
Doch - ich hatte in dem Moment voll den Geistesblitz, wie eben auch. Nur halt einen inkorrekten, aber wie schon gesagt, nur durch sowas kannman lerenen :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 09.12.2009 | | Autor: | LariC |
Habe doch noch eine Frage, wie sähe es bei
[mm] \limes_{x\rightarrow\x0}(0*sgnx) [/mm] aus
Spontan hätte ich geagt, dass das einen GW hat, eben 0, aber geht das so einfach?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Habe doch noch eine Frage, wie sähe es bei
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x0}(0*sgnx)[/mm] aus
>
> Spontan hätte ich geagt, dass das einen GW hat, eben 0,
> aber geht das so einfach?!
Ja, denn $0*(blubberblubber) = 0$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mi 09.12.2009 | | Autor: | LariC |
Ja - so langsam macht das ganze dann doch etwas Sinn, dann würde also
[mm] \limes_{x\rightarrow \x0}(x*sgnx) [/mm] wieder nicht existieren, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ja - so langsam macht das ganze dann doch etwas Sinn, dann
> würde also
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow \x0}(x*sgnx)[/mm] wieder nicht existieren,
> oder?
Doch ! Es ist $x*sgnx = |x|$, also [mm]\limes_{x\rightarrow \x0}(x*sgnx)=0[/mm]
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mi 09.12.2009 | | Autor: | LariC |
Ne...warte ist doch nicht so klar sgnx ost doch für x=0 mit 0 definiert, wennn wir das jetzt aber mal x nehmen, würde hier immer o bleiben, wobei alle anderen werte dem Betrag von x entstperchen, also wäre doch hier kein limes für xo=0 anzugeben!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mi 09.12.2009 | | Autor: | LariC |
Sry, aber ich hatte meinen löetzten Beitrag nicht als frage gestellt, also siehe da!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Also gut, wir unterscheiden 3 Fälle:
1. x>0. Dann ist sgn(x) = 1, also xsgn(x) = x = |x|
2. x<0. Dann ist sgn(x) = -1, also xsgn(x) = -x = |x|
3. x=0. Dann ist sgn(x) = 0, also xsgn(x) = 0 = |0|= |x|
FRED
|
|
|
|
