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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:33 Sa 05.05.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei M:={ [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x=\bruch{1}{n}+\bruch{1}{m}, m,n\in\IN [/mm] }
Bestimme Häufungspunkte von M. |
Hallo,
ein furchtbares Thema, topologische Räume. Aber da muss man dann wohl durch 
Ich hoffe, mir kann jemand helfen.
Häufungspunkt wurde wie folgt definiert:
Sei (X,T) topologischer Raum, [mm] M\subset [/mm] X Teilmenge
[mm] x\inX [/mm] heißt Häufungspunkt von M [mm] :\gdw \forall [/mm] U Umgebungen von x ist [mm] (U\cap M)\setminus\{x\} \not=\emptyset.
[/mm]
Umgebung (Definition)
Sei X ein metrischer Raum. Eine Teilmenge [mm] U\subset [/mm] X heißt Umgebung eines Punktes [mm] x\in [/mm] X, falls ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] exisitert, sodass [mm] B_{\varepsilon}(x)\subset [/mm] U.
Ich weiß gar nicht, wie ich hier vorgehen soll. Kann mir jemand helfen, was das Verständnis dieser Aufgabe betrifft?
MfG
barsch
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Klar ist, dass sich in der 'Nähe' (wie auch immer definiert) eines HP unendlich viele Punkte der Menge finden lassen sollten. Also schauen wir mal nach den Grenzwerten jeweils für [mm]n,m\rightarrow\infty[/mm]. Ein Beispiel: Wenn wir n=2 festhalten und m gegen Unendlich gehen lassen, geht die Summe gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]. In jeder Umgebung davon liegen immer noch unendlich viele Punkte der Menge.
Wenn ich jetzt noch 2 Zeilen weiterschreibe, ist die Aufgabe schon fertig - aber du wolltest doch bestimmt noch etwas selbst machen, oder? :)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Sa 05.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die Antwort.
Dann muss ich [mm] n,m\rightarrow\infty [/mm] laufen lassen. Getrennt voneinader.
Heißt, bei
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}+\bruch{1}{m} \to \bruch{1}{m}
[/mm]
kann ich aussagen, dass für jedes m [mm] \in \IN [/mm] unendlich viele [mm] x\in [/mm] M in der Nähe (oder Umgebung?) liegen?!
Und bei
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}+\bruch{1}{m} \to \bruch{1}{n} [/mm] argumentiere ich dann analog?!
Insgesamt heißt das, M besitzt unendlich viele Häufungspunkte?!
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Sa 05.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Richtig!
jedes 1/n für n aus [mm] \IN [/mm] ist Häufungspunkt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Sa 05.05.2007 | | Autor: | barsch |
Vielen Dank euch zwei...
MfG
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Mi 09.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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