Häufungspunkte von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 So 11.05.2008 | | Autor: | tut-self |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge positiver reeller Zahlen. Beweisen Sie, dass mindestens eine der Folgen [mm] (a_{n}) [/mm] oder [mm] (\bruch{1}{a_{n}}) [/mm] einen Häufungspunkt besitzt. |
Mein Ansatz ist folgender:
Ich nehme an, dass [mm] a_{n} [/mm] keinen Häufungspunkt besitzt und folgere dann daraus, dass [mm] \bruch{1}{a_{n}} [/mm] einen Häufungspunkt haben muss.
Nach Bolzano-Weierstrass hat jede beschränkte Folge einen Häufungspunkt, d.h. [mm] a_{n} [/mm] ist (nach oben, da ja nur positive Glieder) nicht beschränkt.
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] K>0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] a_{n} [/mm] > K
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] K>0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \bruch{1}{a_{n}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{K} [/mm] =: [mm] \varepsilon.
[/mm]
Leider kann ich dadurch ja nur die Existenz von einem Element, dass größer K (bzw. kleiner 1/K) ist, nachweisen und nicht, dass es für alle Elemente [mm] \ge [/mm] N gilt. Wenn das so wäre, dann könnte ich argumentieren, dass [mm] a_{n} [/mm] bestimmt divergent gegen [mm] \infty [/mm] ist und damit [mm] \bruch{1}{a_{n}} [/mm] Nullfolge ist und damit einen Häufungspunkt besitzt. Kann mir jemand bei dem fehlenden Beweisschritt helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 So 11.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo tut-self,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm](a_{n})[/mm] eine Folge positiver reeller Zahlen. Beweisen
> Sie, dass mindestens eine der Folgen [mm](a_{n})[/mm] oder
> [mm](\bruch{1}{a_{n}})[/mm] einen Häufungspunkt besitzt.
> Mein Ansatz ist folgender:
> Ich nehme an, dass [mm]a_{n}[/mm] keinen Häufungspunkt besitzt und
> folgere dann daraus, dass [mm]\bruch{1}{a_{n}}[/mm] einen
> Häufungspunkt haben muss.
> Nach Bolzano-Weierstrass hat jede beschränkte Folge einen
> Häufungspunkt, d.h. [mm]a_{n}[/mm] ist (nach oben, da ja nur
> positive Glieder) nicht beschränkt.
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] K>0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]a_{n}[/mm] > K
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] K>0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] :
> [mm]\bruch{1}{a_{n}}[/mm] < [mm]\bruch{1}{K}[/mm] =: [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Leider kann ich dadurch ja nur die Existenz von einem
> Element, dass größer K (bzw. kleiner 1/K) ist, nachweisen
> und nicht, dass es für alle Elemente [mm]\ge[/mm] N gilt. Wenn das
> so wäre, dann könnte ich argumentieren, dass [mm]a_{n}[/mm] bestimmt
> divergent gegen [mm]\infty[/mm] ist und damit [mm]\bruch{1}{a_{n}}[/mm]
> Nullfolge ist und damit einen Häufungspunkt besitzt. Kann
> mir jemand bei dem fehlenden Beweisschritt helfen?
Du bist schon ganz nah dran  . Du kannst deine Argumentation, dass es für jedes K immer ein [mm] $a_n>K$ [/mm] geben muss ja mehrmals anwenden und kannst so in deiner unbeschränkten Folge eine monoton wachsende und unbeschränkte Teilfolge finden. Dann sind die Kehrwerte dieser Teilfolge dann natürlich auch eine Teilfolge von [mm] $1/a_n$...
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 So 11.05.2008 | | Autor: | tut-self |
Du meinst, ich könnte mir eine Teilfolge definieren mit:
[mm] K_{0} [/mm] = K, [mm] K_{x+1} [/mm] = [mm] K_{x}+1 [/mm] und [mm] a_{n_{K _{x}}} [/mm] > [mm] K_{x}?
[/mm]
Hmm, da [mm] K_{x} [/mm] monoton steigend ist, ist es auch die andere Folge... aber - vielleicht ist es auch einfach nur schwer vorzustellen... - muss dann auch gelten [mm] n_{K_{x}} [/mm] > [mm] n_{K_{x+1}}?
[/mm]
Sonst ist es ja keine Teilfolge, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 So 11.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Du meinst, ich könnte mir eine Teilfolge definieren mit:
> [mm]K_{0}[/mm] = K, [mm]K_{x+1}[/mm] = [mm]K_{x}+1[/mm] und [mm]a_{n_{K _{x}}}[/mm] > [mm]K_{x}?[/mm]
> Hmm, da [mm]K_{x}[/mm] monoton steigend ist, ist es auch die andere
> Folge... aber - vielleicht ist es auch einfach nur schwer
> vorzustellen...
Die Idee ist schon nicht schlecht. es kann nur folgendes passieren (und das ist dir --entnehme ich deinen nachfolgenden Gedanken-- auch klar):
[mm] $a_n=1,2,1,7,8,9,10,\ldots$
[/mm]
Darin willst du eine monoton wachsende Teilfolge finden; für deine Ks ergibt sich dann z.B. bei [mm] $K_0:=3$
[/mm]
[mm] $K_0:=3$
[/mm]
[mm] $K_1:=4$
[/mm]
[mm] $K_2:=5$
[/mm]
[mm] $K_3:=6$
[/mm]
[mm] $K_4:=7$
[/mm]
[mm] $K_5:=8$
[/mm]
Deine [mm] $n_{K_x}$ [/mm] könnten dann ja so lauten:
[mm] $n_{K_0}=3$, [/mm] da [mm] $a_3=7>3=K_0$
[/mm]
[mm] $n_{K_1}=3$, [/mm] da [mm] $a_3=7>4=K_1$
[/mm]
[mm] $n_{K_2}=3$, [/mm] da [mm] $a_3=7>5=K_2$
[/mm]
[mm] $n_{K_3}=3$, [/mm] da [mm] $a_3=7>6=K_3$
[/mm]
[mm] $n_{K_4}=4$, [/mm] da [mm] $a_4=8>7=K_4$
[/mm]
Wie du siehst, muss dein Teilfolgenauswähler [mm] $n_{K_x}$ [/mm] nicht streng monoton wachsend sein, d.h., du erhältst damit keine Teilfolge (ein Folgenglied darf ja in einer Teilfolge nicht mehrfach vorkommen). Überdies ist die Monotonie der Teilfolge dadurch auch gar nicht gewährleistet.
> - muss dann auch gelten [mm]n_{K_{x}}[/mm] >
> [mm]n_{K_{x+1}}?[/mm]
> Sonst ist es ja keine Teilfolge, oder?
Ja, das musst du noch korrigieren.
Eine Möglichkeit wäre, die Folge der oberen Schranken so zu wählen: [mm] $K_0:=K$, $K_{x+1}:=a_{n_{K_x}}+1$ [/mm] und zusätzlich zu fordern: [mm] $a_{n_{K_{x+1}}}>a_{n_{K_x}}$
[/mm]
Ich schreibe das aber lieber mal anders:
Wähle [mm] $n_0$ [/mm] als einen Folgenindex, für den [mm] $a_{n_0}>K$ [/mm] gilt.
Die weiteren Teilfolgenindices wähle ich rekursiv durch:
[mm] $n_{i+1}$ [/mm] sei ein Index mit [mm] $a_{n_{i+1}}>a_{n_i}$ [/mm] und mit [mm] $n_{i+1}>n_{i}$ [/mm] (den muss es geben, sonst wäre [mm] $(a_n)_{n\ge n_i}$ [/mm] und damit [mm] $(a_n)_{n\ge 0}$ [/mm] beschränkt)
Per Konstruktion ist das eine monoton wachsende Teilfolge von [mm] $a_n$.
[/mm]
Möglicherweise musst du dir aber auch diese Arbeit gar nicht machen: Gibt es in deinem Skript nicht einen Satz, dass eine nach oben unbeschränkte Folge eine monoton wachsende Teilfolge besitzt?
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 11.05.2008 | | Autor: | tut-self |
Hi Marc!
Danke für deine Antwort. Dieser Schritt hatte mir noch gefehlt.
Leider gibt es bei uns im Skript so einen Satz nicht... hab schon gesucht.
Lieben Gruß,
Kathi
|
|
|
|
