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Hausdorff Distanz: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Mo 04.11.2019
Autor: TS85

Aufgabe
Sei [mm] C(\IR^n) [/mm] die Menge aller geschlossenen konvexen Kegel (engl.: "cones") im [mm] \IR^n [/mm] mit dem Gipfel im Ursprung und für P,Q [mm] \in C(\IR^n) [/mm] wird die Hausforff Distanz [mm] d_H [/mm] definiert:

[mm] \delta(P,Q):= \sup_{p \in P\capB} inf_{q \in Q}||p-q||, [/mm]
[mm] d_h(P,Q):=max\{\delta(P,Q),\delta(Q,P)\} [/mm]

(1) Sei (M,p) eine beliebige kompakter metrischer Raum. Zeige, dass die Hausdorff Distanz eine Metrik definiert auf der Menge aller kompakten Teilmengen von M.
(2) Sei [mm] L:[2,3]\to\IR [/mm] definiert durch
[mm] L(x):=\{y \in \IR | 0 <= y <= x \}. [/mm]

Untersuche die Stetigkeitseigenschaften von L als Abbild nach [mm] P(\IR) [/mm] durch Nutzen der Hausdorff-Metrik.

Meine Fragen:

(1)Was bzw. inwieweit sind hier die 3. metrischen Axiome zu beweisen?
1. d(A,B)= [mm] max\{sup_{a \in A} inf_{b \in B} d(a,b), sup_{b \in B} inf_{a \in A} d(b,a)\} [/mm] >=0
(Ist hier überhaupt etwas zu zeigen!?)

2. [mm] d(A,B)=d(B,A)=max\{d(A,B),d(B,A)\} [/mm]
(Folgt dies nicht automatisch, da nur das Maximum beider
Sup-Infs gebildet wird?)

3. d(A,C)<=d(A,B)+d(B,C)
durch:
d(a,C)<=d(a,b)+d(b,C)<=d(a,b)+d(B,C)
mit Anwendung des Infinums b [mm] \in [/mm] B folgt:
d(a,C)<=d(a,B)+d(B,C)<=d(A,B)+d(B,C).
Umgekehrt ist noch zu zeigen, dass
d(A,c)<=d(A,B)+d(B,C), d.h. dass Supremum von a [mm] \in [/mm] A?

(2)Was ist hier mit dem Abbilden auf [mm] P(\IR) [/mm] gemeint, eine Verteilungsfunktion? Zudem steht in der Aufgabenstellung L:[2,3] mit einem Doppelpfeil nach [mm] \IR, [/mm] was ist hiervon die Bedeutung? Im Allgemeinen fehlt mir hier die Idee, was zu machen ist.


        
Bezug
Hausdorff Distanz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Mo 04.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: du schmeißt bei deiner Notation Dinge durcheinander und daher ist das alles von vornherein unsauber:

>  1. [mm]d(A,B)= max\{sup_{a \in A} inf_{b \in B} d(a,b), sup_{b \in B} inf_{a \in A} d(b,a)\} >=0[/mm]

Du schreibst hier einmal $d(A,B)$ und dann hinten $d(a,b)$. Was soll d sein?
Ich vermute mal die "normale" Abstandsdefinition $d(a,b) = ||a-b||$, was soll denn d(A,B) sein, wenn A und B Mengen sind?
Ich setze mal wieder meine Orakel-Fähigkeiten ein und vermute, du meinst $d(A,B) = [mm] d_h(A,B)$ [/mm]

>  (Ist hier überhaupt etwas zu zeigen!?)

Du behauptest ja, es gelte  [mm] $d_h(A,B) \ge [/mm] 0$.
Ich behaupte mal, das stimmt doch gar nicht! Muss man auch nicht zeigen, denn ich sag das ja!
Also? Begründe, warum [mm] $d_h(A,B) \ge [/mm] 0$.

> 2. [mm]d(A,B)=d(B,A)=max\{d(A,B),d(B,A)\}[/mm]

Auch hier wieder: Notation! Hier definierst du d(A,B) mit sich selbst, da es wieder im [mm] $\max$ [/mm] auftaucht. Zirkelschluss!
Was du eigentlich meinst:
[mm]d_h(A,B)= \max\{\delta(A,B),\delta(B,A)\}[/mm]

>  (Folgt dies nicht automatisch, da nur das Maximum beider Sup-Infs gebildet wird?)

"Automatisch" ist interessant… Und: Mit dem [mm] $\sup$ [/mm] und [mm] $\inf$ [/mm] hat das gar nix zu tun, die Definition von [mm] $\delta$ [/mm] spielt nämlich gar keine Rolle.
Schreibst du die Definition von [mm] $d_h(A,B)$ [/mm] hin und die von [mm] $d_h(B,A)$ [/mm] so erkennst du, dass da das gleiche steht.

>  
> 3. d(A,C)<=d(A,B)+d(B,C)
>  durch:
>  d(a,C)<=d(a,b)+d(b,C)<=d(a,b)+d(B,C)
>  mit Anwendung des Infinums b [mm]\in[/mm] B folgt:
>  d(a,C)<=d(a,B)+d(B,C)<=d(A,B)+d(B,C).
>  Umgekehrt ist noch zu zeigen, dass
>  d(A,c)<=d(A,B)+d(B,C), d.h. dass Supremum von a [mm]\in[/mm] A?

Das schreibst du bitte nochmal in sauberer Notation auf!
Ich hab nämlich keine Lust für jedes $d$ zu raten, ob du nun [mm] $d_h$, $\delta$ [/mm] oder doch $d$ meinst…

> (2) Sei $ [mm] L:[2,3]\to\IR [/mm] $ definiert durch [mm] $L(x):=\{y \in \IR | 0 <= y <= x \}. [/mm] $

Die Aufgabe ist bestimmt nicht so gestellt, da $L$ gar nicht nach [mm] $\IR$ [/mm] abbildet…

> (2)Was ist hier mit dem Abbilden auf [mm]P(\IR)[/mm] gemeint, eine Verteilungsfunktion?

[mm] $P(\IR)$ [/mm] steht vermutlich für die Potenzmenge von [mm] $\IR$. [/mm] Genau beantworten kannst aber nur du das mit deinen Unterlagen.

> Zudem steht in der Aufgabenstellung L:[2,3] mit einem Doppelpfeil nach [mm]\IR,[/mm] was ist hiervon die Bedeutung?

Ich gehe davon aus, dass das ein Tippfehler ist und [mm] $\to$ [/mm] gemeint ist.
Oder (aber das kannst nur du beantworten), ihr habt irgendwann in den Tiefen eurer Vorlesung mal sowas definiert wie: $f: X [mm] \Rightarrow [/mm] Y$ meint eigentlich $f: [mm] X\to [/mm] P(Y)$.
Das hab ich zwar noch nie gesehen, würde den Notationsmurks der Aufgabe aber erklären…

>  Im Allgemeinen fehlt mir hier die Idee, was zu machen ist.

Wie untersucht man denn die Stetigkeit einer Funktion $f: [mm] (X,d_1) \to (Y,d_2)$ [/mm] zwischen zwei Metrischen räumen [mm] $(X,d_1), (Y,d_2)$ [/mm] ?

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Hausdorff Distanz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Mo 04.11.2019
Autor: TS85

Die Frage war leider aufgrund teils unterschiedlicher Notation in diversen Quellen von der Sorte "mal schnell die Frage stellen". Besser wäre die Verwendung direkt vom [mm] \delta-Operator [/mm] gewesen, anstelle sich auf sup und inf zu versteifen..

(1)
1. [mm] d_H(A,B)=max\{sup_{a\in A}\ inf_{b \in B}||a-b||, sup_{b \in B}\ inf_{a \in A}||b-a||\} \ge [/mm] 0

da es sich bei der euklidischen Norm immer um einen [mm] \ge [/mm] 0 Wert handelt.

2. [mm] d_H(A,B)=max\{sup_{a\in A}\ inf_{b \in B}||a-b||, sup_{b \in B}\ inf_{a \in A}||b-a||}=max\{\delta(A,B),\delta(B,A)\}=\{\delta(B,A),\delta(A,B)\}=d_H(B,A) [/mm]

3. [mm] d_H(A,C) \le d_H(A,B)+d_H(B,C): [/mm]

[mm] \delta(a,C)=inf_{c \in C} \delta(a,c) \le \delta(a,b) [/mm] + [mm] inf_{c \in C} \delta(b,c) \le \delta(a,b) [/mm] + [mm] d_H(B,C). [/mm]

Mit "Anwendung [mm] inf_{b \in B} [/mm] " folgt

[mm] \delta(a,C) \le inf_{b \in B} \delta(a,b) [/mm] + [mm] max\{\delta(B,C),\delta(C,B)\} \le d_H(A,B)+d_H(B,C) [/mm]

da [mm] d_H(A,B)= sup_{a \in A} inf_{b \in B}\delta(a,b) \ge inf_{b \in B}\delta(a,b). [/mm]

Zu zeigen wäre dann noch umgekehrt [mm] \delta(A,c) \le d_H(A,B)+d_H(B,C), [/mm] d.h.
das auch das Supremum a [mm] \in [/mm] A von [mm] \delta(a,c) [/mm] kleiner gleich ist, woraus die Dreiecksungleichung folgt
(Wenn dies denn mathematisch auf diese Weise ausreicht..)




(2) In echt ist von S:[1,2] die Rede, der Doppelpfeil ist
wohl eher unabsichtlich entstanden. Es handelt sich auch um
ein [mm] \mathcal{P}(\IR). [/mm] Mir war es unklar, da
die Vorlesung auch von P als Probability-Distr. handelt.
Ok, so habe ich eine bessere Vorstellung davon.
Hört sich nach sehr theoretischem [mm] \epsilon-\delta [/mm] Beweis an.

Gruß


Bezug
                        
Bezug
Hausdorff Distanz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:53 Mo 04.11.2019
Autor: TS85

Ich sehe schon, dass ich in der Eile weiter unten ausversehen ein Delta anstelle von d gesetzt habe, leider darf/kann ich es nicht mehr ändern hier im Editor. Gibt eben so Tage..

Bezug
                        
Bezug
Hausdorff Distanz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Mo 04.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> (1)
>  1. [mm]d_H(A,B)=max\{sup_{a\in A}\ inf_{b \in B}||a-b||, sup_{b \in B}\ inf_{a \in A}||b-a||\} \ge[/mm]
> 0
>  
> da es sich bei der euklidischen Norm immer um einen [mm]\ge[/mm] 0
> Wert handelt.

Die Aussage ist unabhängig davon, welche Norm man verwendet. Es muss nicht die euklidische sein.  
Es fehlt aber noch die Begründung, warum $d(A,A) = 0$.

> 2. [mm]d_H(A,B)=max\{sup_{a\in A}\ inf_{b \in B}||a-b||, sup_{b \in B}\ inf_{a \in A}||b-a||}=max\{\delta(A,B),\delta(B,A)\}=\{\delta(B,A),\delta(A,B)\}=d_H(B,A)[/mm]

Hier hast du ein [mm] \max [/mm] unterschlagen.

> 3. [mm]d_H(A,C) \le d_H(A,B)+d_H(B,C):[/mm]
>  
> [mm]\delta(a,C)=inf_{c \in C} \delta(a,c) \le \delta(a,b)[/mm] +
> [mm]inf_{c \in C} \delta(b,c) \le \delta(a,b)[/mm] + [mm]d_H(B,C).[/mm]

Ok. [mm] $\delta$ [/mm] ist eine Abbildung, die Mengen als Argument hat. Ich vermute mal, dass du mit $a$ hier aber einen einzelnen Punkt meinst.
Sauber und korrekt wäre hier dann [mm] $\{a\}$, [/mm] also die einelementige Menge zu schreiben, oder zumindest kurz zu erwähnen, wieso man das so schreibt.

Dann sollte das erste Gleichheitszeichen lauten: [mm] $\delta(\{a\}, [/mm] C) = [mm] \inf_{c\in C} [/mm] ||a - c||$
Ein Ausdruck wie [mm] $\delta(a,b)$ [/mm] solltest du vermeiden.
Bitte schreibe das sauber nochmal auf… Im Idealfall unter Vermeidung von irgendwelchen unschönen Aufschrieben.
Es ist doch alles definiert!!

Fang am besten an mit: $||a-c|| [mm] \le [/mm] ||a-b|| + ||b-c||$ und leite dafür die Ungleichung für [mm] $d_h$ [/mm] her.
Tipp: Du brauchst eine Fallunterscheidung für [mm] $d_h(A,C)$, [/mm] welches der beiden Maxima angenommen wird.

>  Hört sich nach sehr theoretischem [mm]\epsilon-\delta[/mm] Beweis an.

Du hast bisher noch nicht mal hingeschrieben, wann eine Funktion zwischen zwei metrischen Räumen stetig ist… fang doch damit mal an!!
Dann solltest du feststellen: L bildet nicht nur nach [mm] $P(\IR)$, [/mm] sondern sogar in den Raum der kompakten Teilmengen von [mm] $\IR$. [/mm]
Dafür haben wir doch eben eine Metrik kennengelernt… und der Rest ist Anwendung der Definition der Stetigkeit und der Metrikdefinition [mm] $d_h$ [/mm]

Als Ergebnis solltest du herausbekommen: L ist nicht nur stetig, sogar gleichmäßig und Lipschitz-stetig…

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Hausdorff Distanz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Mi 06.11.2019
Autor: TS85

1. [mm] d_H(A,B)>=0, [/mm] da jede Norm größer gleich 0 ist.

[mm] d_H(A,A)=max\{\delta(A,A),\delta(A,A)\}=max\{sup_{a \in A}inf_{a \in A}||a-a||,sup_{a \in A}inf_{a \in A}||a-a||\} [/mm]
[mm] =sup_{a \in A}inf_{a \in A}||a-a|| [/mm]

ist gleich 0, da die maximalste der kürzesten Distanzen
bzw. ||a-a|| immer 0 sein muss. Optisch nach der Hausdorff-Metrik auch so nachvollziehbar, da die Menge A bzw. der ihre "Ränder" aufeinander liegen.

2. [mm] d_H(A,B)=max\{\delta(A,B),\delta(B,A)\}=...(mit Vertauschen)=d_H(B,A) [/mm]

3.z.z. [mm] d_H(A,C)=max\{\delta(A,C),\delta(C,A)\}<=d_H(A,B)+d_H(B,C) [/mm]
Herleitung durch ||a-c||<=||a-b||+||b-c||.
Anwendung Inf. c:
[mm] \delta(\{a\},C)<=||a-b||+inf_{c \in C}||b-c||<=||a-b||+sup_{b \in B}int_{c \in C}||b-c|| [/mm]

Dann gilt [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B mit Anwendung [mm] inf_{b \in B}: [/mm]
[mm] inf_{c \in C}||a-c||<=inf_{b \in B}||a-b||+\delta(B,C) [/mm]
[mm] <=\delta(A,B)+\delta(B,C)<=d_H(A,B)+d_H(B,C) [/mm]

Also gilt der 1. Fall [mm] \delta(A,C)<=d_H(A,B)+d_H(B,C) [/mm]

Für den 2. Fall folgt dann umgekehrt:
||a-c||=||c-a||<=||a-b||+||b-c||
[mm] \gdw\delta(\{c\},A)<=inf_{a \in A}||b-a||+||b-c|| [/mm]
[mm] <=\delta(B,A)+||b-c||. [/mm]
Danach die Anwendung inf b usw. bis der 2. Fall auch gilt.

Bei der 2. Aufgabe werde ich erst noch etwas Research betreiben müssen..


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Bezug
Hausdorff Distanz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Mi 06.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

passt jetzt, aber stell doch nächste Mal deine Fragen bitte auch als Fragen und nicht als Mitteilung.

> Bei der 2. Aufgabe werde ich erst noch etwas Research betreiben müssen..

inwiefern? Die Stetigkeitsdefinition auf metrischen Räumen sollte sitzen!
Mehr brauchst du hier nicht.

Gruß,
Gono

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