Herleitung des Mittelwerts < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich muss bald, also eigentlich morgen, eine GFS in Mathe halten über:
MITTELWERTE VON FUNKTIONEN ! ! !
Leider bin ich da auf ein Problem bei der Herleitung gestoßen :-(
m=(1/n)*(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))
->h=(b-a)/n ...>h/(b-a)=1/n
--->m= h/(b-a) * ( f(x1) + f(x2) +...+ f(xn) )
--->des gleiche wie:
(1/(b-a))*(f(x1)*h+f(x2)*h+...+f(xn)*h)
Und dazu meine frage: Ich wüsste nicht, wie ich es erklären sollte, also ich verstehs nicht wirklich, warum des h dann in die klammer reingezogen wird. mir ist klar dass sich an der rechnung nichts ändert und das dann der teil in der klammer ZERLEGUNGSSUMME heißt. Aber warum?
Und ich weiß auch dass es irgendwie besser ist für die spätere Formel, mit der man die Funktionswerte ausrechnet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(1/b-a) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm]
BItte helft mir so schnell es geht !!! und sagt mir warum des so ist....
DANKÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Mo 22.01.2007 | | Autor: | chrisno |
> m=(1/n)*(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))
> ->h=(b-a)/n ...>h/(b-a)=1/n
>
> --->m= h/(b-a) * ( f(x1) + f(x2) +...+ f(xn) )
> --->des gleiche wie:
> (1/(b-a))*(f(x1)*h+f(x2)*h+...+f(xn)*h)
>
> Und dazu meine frage: Ich wüsste nicht, wie ich es erklären
> sollte, also ich verstehs nicht wirklich, warum des h dann
> in die klammer reingezogen wird. mir ist klar dass sich an
> der rechnung nichts ändert und das dann der teil in der
> klammer ZERLEGUNGSSUMME heißt. Aber warum?
> Und ich weiß auch dass es irgendwie besser ist für die
> spätere Formel, mit der man die Funktionswerte ausrechnet.
>
> (1/b-a) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
Zum Verständnis: Diese letzte Formel ist Dein Ziel? Es fehlt nur davor "Der Mittelwert von f über dem Intervall von a bis b ist gleich"?
Dann ist die Umformung zu
(1/(b-a))*(f(x1)*h+f(x2)*h+...+f(xn)*h)
die Vorbereitung auf das Integral. f(x1)*h ist die Fläche eines Rechtecks. Auf der x-Achse bei a liegt die Seite mit der Länge h, die Höhe ist f(x1), dabei ist x1 = a. Daneben liegt das nächste Rechteck mit auch der Breite h und der Höhe f(x2), also ist x2 = a+h, usw.
Wenn jetzt h beliebig klein gemacht wird, dann wird aus diesen nebeneinander liegenden Rechtecken genau die Fläche unter dem Funktionsgrafen, also das Integral, das als Ergebnis da steht.
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