Hesse-Matrix < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Fr 06.09.2013 | | Autor: | Paddi15 |
| Aufgabe | <br>
Ist [mm]f \in C ^n( \IR ^2, \IR)[/mm] und besitzt [mm]f[/mm] in [mm]x[/mm] ein lokales Minimum, so ist die Hesse-Matrix [mm]H _{f}(x)[/mm] positiv denifit. |
<br>
Wieso ist denn diese Aussage falsch?
Es gilt ja, wenn ein Eintrag in der Hesse-Matrix positiv definit ist, dass f dort ein lokales Minimum hat.
Oder liegt es an der falschen Definition, dass [mm]f \in C ^n( \IR ^2, \IR)[/mm] ist und nicht [mm]f \in C ^2(D, \IR)[/mm], [mm]x _{0} \in D[/mm].
Oder fehlt hier die Definition, dass (grad [mm]f)(x _{0}) = 0[/mm] sein muss?
Vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
> <br>
>
> Ist [mm]f \in C ^n( \IR ^2, \IR)[/mm] und besitzt [mm]f[/mm] in [mm]x[/mm] ein
> lokales Minimum, so ist die Hesse-Matrix [mm]H _{f}(x)[/mm] positiv
> denifit.
>
> <br>
>
> Wieso ist denn diese Aussage falsch?
> Es gilt ja, wenn ein Eintrag in der Hesse-Matrix positiv
> definit ist, dass f dort ein lokales Minimum hat.
Hallo Paddi15,
es ist ziemlich einfach.
Wenn aus einer Aussage A eine Aussage B folgt, so darf
man nicht schließen, dass auch umgekehrt A aus B folgt.
Ein analoges Beispiel auf etwas einfacherer Stufe wäre:
Für eine auf [mm] \IR [/mm] zweimal differenzierbare Funktion f gilt:
Ist f'(x)=0 und f''(x)>0 , so hat f an der Stelle x ein lokales
Minimum.
Umgekehrt folgt aber aus der Eigenschaft, dass f an der
Stelle x ein lokales Minimum hat, nicht , dass f''(x)>0 .
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Sa 07.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> <br>
>
> Ist [mm]f \in C ^n( \IR ^2, \IR)[/mm] und besitzt [mm]f[/mm] in [mm]x[/mm] ein
> lokales Minimum, so ist die Hesse-Matrix [mm]H _{f}(x)[/mm] positiv
> denifit.
>
> <br>
>
Ergänzend zu Al:
> Wieso ist denn diese Aussage falsch?
Nimm einfach die Funktion f(x)=0 (x [mm] \in \IR^n). [/mm] f hat in jedem x ein (lokales) Minimum , aber $ H _{f}(x) $ ist in keinem x positiv definit.
> Es gilt ja, wenn ein Eintrag in der Hesse-Matrix positiv definit ist, dass f dort ein lokales Minimum hat
Was soll das denn ? "...wenn ein Eintrag in der Hesse-Matrix...."
Schau Dir die Def. von "positiv definit" noch mal an.
> dass f dort ein lokales Minimum hat.
>
> Oder liegt es an der falschen Definition, dass [mm]f \in C ^n( \IR ^2, \IR)[/mm] ist
> und nicht [mm]f \in C ^2(D, \IR)[/mm], [mm]x _{0} \in D[/mm].
> Oder fehlt
> hier die Definition, dass (grad [mm]f)(x _{0}) = 0[/mm] sein
> muss?
Wenn f in [mm] x_0 [/mm] partiell differenzierbar ist und wenn f in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Extremum hat, so ist
grad [mm]f(x _{0}) = 0[/mm]
!!!!!
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
|
|
|
|
