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Hilbertkalkül , beweisbar < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hilbertkalkül , beweisbar: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 00:20 Mo 16.05.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Sei L eine Sprache und [mm] \phi, \psi [/mm] L-Formeln. Zeigen Sie:
(1) [mm] \vdash_L \forall [/mm] x [mm] \phi \rightarrow \exists [/mm] x [mm] \phi [/mm]
(2) [mm] \vdash_L \forall [/mm] x [mm] (\phi \wedge \psi) \rightarrow (\forall [/mm] x [mm] \phi \wedge \forall [/mm] x [mm] \psi) [/mm]

Edit von mir:
Notation: [mm] \vdash_L \chi [/mm] bedeutet [mm] \chi [/mm] ist eine beweisbare L-Formel
Also formale Beweise im Hilbertkalkül sind gefragt.

Hallo,
Wir halten uns sehr an http://home.mathematik.uni-freiburg.de/ziegler/skripte/logik.pdf
Intern S. 16 wird der Hilbertkalkül vorgestellt und die abgeleiteten [mm] Regeln:Aussagenlogik,\forall [/mm] Quantoraxiome, [mm] \forall [/mm] Einführung und ein Speziallfall der [mm] \forall [/mm] Einführung (der nicht im Skript steht): [mm] \vdash_L \psi [/mm] dann folgt auch [mm] \vdash_L \forall [/mm] x [mm] \psi [/mm]

(1) hab ich hinbekommen:
[mm] \vdash_L (\forall [/mm] x [mm] \phi \rightarrow \phi \frac{t}{x}) [/mm] ist [mm] \forall [/mm] Quantoraxiom mit t ein L-Term und x frei für t in [mm] \phi [/mm]
[mm] \vdash_L(\phi \frac{t}{x} \rightarrow \exists [/mm] x [mm] \phi) [/mm] ist [mm] \exists [/mm] Quantoraxiom
[mm] (((X\rightarrow [/mm] Y) [mm] \wedge (Y\rightarrow [/mm] Z)) [mm] \rightarrow [/mm] (X [mm] \rightarrow [/mm]  Z)) ist eine allgemeingültige aussagenlogische Formel also ist [mm] (((\forall [/mm] x [mm] \phi \rightarrow \phi \frac{t}{x}) \wedge (\phi \frac{t}{x} \rightarrow \exists [/mm] x [mm] \phi)) \rightarrow (\forall [/mm] x [mm] \phi \rightarrow \exists [/mm] x [mm] \phi [/mm] )) Tautologie

Es folgt also mit Aussagenlogik [mm] \vdash_L \forall [/mm] x [mm] \phi \rightarrow \exists [/mm] x [mm] \phi [/mm]

Hat wer einen Tipp zu (2)?

        
Bezug
Hilbertkalkül , beweisbar: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 Fr 20.05.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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