Holomorphie am Bsp f(x,y)=x < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 So 20.04.2014 | | Autor: | drossel |
hi
ich soll schauen, in welchen Punkten in [mm] \mathbb{C} [/mm] die Funktion f(x,y)=x holomorph ist.
An sich ist es ja kein Problem, ich habe raus, dass die Cauchy-Riemannschen DGLen nur im Punkt [mm] (0,y)\in \mathbb{R}^2 [/mm] erfüllt sind.
Dh. f ist nur komplex differenzierbar im Nullpunkt. Aber in 0 homolomorph ist diese Funktion nicht, da es keine Umgebung um den Nullpunkt gibt, auf der f komplex diffbar ist, oder?
Sagt man dann, dass f nur in der Null komplex diffbar ist, aber nirgens holomorph?
Edit: f ist nirgens komplex diffbar, weil
[mm] z=z_0+\frac{1}{n} [/mm] und [mm] z*=z_0+\frac{i}{n} \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{f(z_n)-f(z_0)}{z_n-z_0} [/mm] =1 [mm] \not= \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{f(z*_n)-f(z_0)}{z*_n-z_0}=0 [/mm] . aber was sagt mir das jetzt, dass die CR-Dgln nur in 0 gelten?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Mo 21.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> hi
> ich soll schauen, in welchen Punkten in [mm]\mathbb{C}[/mm] die
> Funktion f(x,y)=x holomorph ist.
> An sich ist es ja kein Problem, ich habe raus, dass die
> Cauchy-Riemannschen DGLen nur im Punkt [mm](0,y)\in \mathbb{R}^2[/mm]
> erfüllt sind.
Das stimmt aber nicht ! Ist u:=Re(f) und v:=Im(f), so ist
u(x,y)=x und v(x,y)=0,
also haben wir
[mm] u_x(x,y)=1 [/mm] und [mm] v_y(x,y)=0.
[/mm]
D.h.: die Cauchy- Riemannschen DGLen sind in keinem (!) (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] erfüllt !
> Dh. f ist nur komplex differenzierbar im Nullpunkt.
Nein.
> Aber
> in 0 homolomorph ist diese Funktion nicht, da es keine
> Umgebung um den Nullpunkt gibt, auf der f komplex diffbar
> ist, oder?
> Sagt man dann, dass f nur in der Null komplex diffbar ist,
> aber nirgens holomorph?
>
> Edit: f ist nirgens komplex diffbar, weil
> [mm]z=z_0+\frac{1}{n}[/mm] und [mm]z*=z_0+\frac{i}{n} \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{f(z_n)-f(z_0)}{z_n-z_0}[/mm]
> =1 [mm]\not= \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{f(z*_n)-f(z_0)}{z*_n-z_0}=0[/mm]
> . aber was sagt mir das jetzt, dass die CR-Dgln nur in 0
> gelten?
Dort gelten sie nicht !
FRED
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Di 22.04.2014 | | Autor: | drossel |
oh ok, vielen Dank. Ich hatte irgendwie einen Denkfehler.
Dankeschön
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