Homomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Di 14.12.2010 | | Autor: | Palonina |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Aufgabe 2 (Homomorphismus)
a) Weisen Sie nach, dass folgende Abbildungen (Gruppen-) Homomorphismen sind:
$ \varphi : (D_3, \circ) \to ( R_2, +) $
mit $ \varphi (x) = \begin{cases} \overline{0}, & \mbox{für }x \in \{d_0, d_1, d_2\} \\ \overline{1}, & \mbox{für }x \in \{s_1, s_2, s_3\} \end{cases} $
$\varphi : (DECK (Rechteck), \circ) \to ( R_3- {\overline{0}}, *) $
mit $ \varphi (x) = \begin{cases} \overline{1}, & \mbox{für }x \in \{D_0, D_2\} \\ \overline{2}, & \mbox{für }x \in \{S_1, S_3\} \end{cases} $
b) Es seien $(G, \circ), (\tilde{G}, \Box), (\hat{G}, \Diamond) $ Gruppen. Ferner seien $\varphi: G \to \tilde {G}$ und $\ Psi: \tilde{G} \to \hat{G}$ Homomorphismen.
Zeigen Sie: Die Abbildung $\Psi \circ \varphi: G \to \hat{G}$ ist dann auch ein Homomorphismus. |
Hallo,
$D_3$ ist die Deckabbildungsgruppe der gleichseitigen Dreiecke, also Drehungen um 0°, 120° und 240° und Spiegelung an den 3 Symmetrieachsen.
Theoretisch weiß ich, was ich in Aufgabe a) nachprüfen muss – dass $ \varphi(a \circ b) = \varphi(a) \Box \varphi(b) $ für alle $a, b \in G$, aber an der Durchführung haperts.\\
1. Fall: Drehungen, zwei Drehungen miteinander verknüpft ergeben wieder eine Drehung,
$\varphi(x_1 \circ x_2) = \varphi( x_3)}= \overline{0} $.\\
Kann ich das so schreiben, da ja zwei Drehungen miteinander verknüpft wieder eine Drehung ergeben?
Auf der anderen Seite erhalte ich $\varphi(x_1) + \varphi(x_2) = \overline{0} + \overline{0} = \overline{0}. $
Ehe ich mich an Teil b) machen, würde ich mich über eine Rückmeldung über diesen Teil freuen.
Vielen Dank,
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Di 14.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Aufgabe 2 (Homomorphismus)
>
> a) Weisen Sie nach, dass folgende Abbildungen (Gruppen-)
> Homomorphismen sind:
>
> [mm]\varphi : (D_3, \circ) \to ( R_2, +)[/mm]
>
> mit [mm]\varphi (x) = \begin{cases} \overline{0}, & \mbox{für }x \in \{d_0, d_1, d_2\} \\ \overline{1}, & \mbox{für }x \in \{s_1, s_2, s_3\} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\varphi : (DECK (Rechteck), \circ) \to ( R_3- {\overline{0}}, *)[/mm]
>
> mit [mm]\varphi (x) = \begin{cases} \overline{1}, & \mbox{für }x \in \{D_0, D_2\} \\ \overline{2}, & \mbox{für }x \in \{S_1, S_3\} \end{cases}[/mm]
>
> b) Es seien [mm](G, \circ), (\tilde{G}, \Box), (\hat{G}, \Diamond)[/mm]
> Gruppen. Ferner seien [mm]\varphi: G \to \tilde {G}[/mm] und [mm]\ Psi: \tilde{G} \to \hat{G}[/mm]
> Homomorphismen.
>
> Zeigen Sie: Die Abbildung [mm]\Psi \circ \varphi: G \to \hat{G}[/mm]
> ist dann auch ein Homomorphismus.
> [mm]D_3[/mm] ist die Deckabbildungsgruppe der gleichseitigen
> Dreiecke, also Drehungen um 0°, 120° und 240° und
> Spiegelung an den 3 Symmetrieachsen.
>
> Theoretisch weiß ich, was ich in Aufgabe a) nachprüfen
> muss – dass [mm]\varphi(a \circ b) = \varphi(a) \Box \varphi(b)[/mm]
> für alle [mm]a, b \in G[/mm], aber an der Durchführung [mm]haperts.\\[/mm]
>
> 1. Fall: Drehungen, zwei Drehungen miteinander verknüpft
> ergeben wieder eine Drehung,
> [mm]\varphi(x_1 \circ x_2) = \varphi( x_3)}= \overline{0}[/mm][mm] .\\[/mm]
>
> Kann ich das so schreiben, da ja zwei Drehungen miteinander
> verknüpft wieder eine Drehung ergeben?
Du müßtest ja im Prinzip 36 Verknüpfungen überprüfen, was mühselig werden kann. Aber da du weißt, daß die Verknüpfung von Drehungen eine Drehung ergibt, gilt einerseits [mm] \varphi(d_i) \circ \varphi(d_j) [/mm] = 0 + 0 = 0 und andererseits [mm] \varphi(d_i \circ d_j) [/mm] = [mm] \varphi(d_k) [/mm] = 0, also ist der Fall geklärt. Wie sieht das jetzt aus, wenn eine Drehung und eine Spiegelung verknüpft werden?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Di 14.12.2010 | | Autor: | Palonina |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Dieter,
den Fall, dass beides vorkommt, hatte ich in meinen Überlegungen unterschlagen.
Ich hatte nur noch an 2 Spiegelungen gedacht, die einer Drehung um den doppelten eingeschlossenen Winkel entsprechen. Der genaue Drehwinkel ist ja nicht wichtig.
$ \varphi(s_i \circ s_j) = \varphi( d_k)}= \overline{0} $
ist gleich
$ \varphi(s_i) + \varphi( d_j)}= \overline{1}+ \overline{1} = \overline{0}. $
Wir hatten schon häufiger Aufgaben zu $D_3$ und auch die Verknüpfungstafeln erstellt. Wenn ich eine Drehung mit einer Geradenspiegelung verknüpfe, ergibt sich unabhängig von der Reihenfolge eine Geradenspiegelung.
Also 3. Fall
$ \varphi(s_i \circ d_j) = \varphi( s_k)}= \overline{1} $ und $ \varphi(s_i) + \varphi( d_j)}= \overline{1}+ \overline{0} = \overline{1}. $
DECK(Rechteck) geht dann analog.
Dann werde ich mich jetzt an den Beweis für b) machen.
Vielen Dank,
Palonina
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