Homomorphismus , Analysis < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Ist G eine Gruppe [mm] (C^\infty [/mm] ([0,1]), +) (beliebig oft diffbaren Funktionen auf den Intervall [0,1]) , so ist [mm] \phi(f) =f^{(n)} [/mm] (n-te Ableitung von f) ein Endomorphismus. |
Hallo,
Das es ein Homomorphismus ist:
[mm] \phi(f+g)=(f+g)^{(n)} [/mm] = [mm] f^{n} [/mm] + [mm] g^n [/mm] = [mm] \phi(f) [/mm] + [mm] \phi(g)
[/mm]
Ich dachte: Gilt nach der Ableitungsregel (f+g)' = f' + g' Und diese wird nun induktiv angewandt
Aber lehrer meinte es folgt von dem Hauptsaz der Differntial und Integralrechnung:
[mm] \int_a^b [/mm] f(x) dx = F(b) - F(a)
bzw. [mm] \frac{d}{dx} [/mm] ( [mm] \int_a^b [/mm] f(t) dt) = f(x)
ich komme aber nicht ganz daruf, auf den Zusammenhang.
Liebe Grüße
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Hi,
auch hier solltest du erst einmal die Begrifflichkeiten für dich klären bevor du versuchst, irgendetwas nachzuweisen, was du nicht nachweisen musst und auch nicht nachweisen kannst.
Dann ist die Frage von alleine beantwortet.
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich habe die Frage so geändert ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Fr 26.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ist G eine Gruppe [mm](C^\infty[/mm] ([0,1]), +) (beliebig oft
> diffbaren Funktionen auf den Intervall [0,1]) ,
Das soll sicherlich "Sei G die Gruppe [mm] $(C^\infty([0,1]),+)$." [/mm] heißen, oder?
> Das es ein Homomorphismus ist:
> [mm]\phi(f+g)=(f+g)^{(n)}[/mm] = [mm]f^{n}[/mm] + [mm]g^n[/mm] = [mm]\phi(f)[/mm] + [mm]\phi(g)[/mm]
> Ich dachte: Gilt nach der Ableitungsregel (f+g)' = f' + g'
> Und diese wird nun induktiv angewandt
> Aber lehrer meinte es folgt von dem Hauptsaz der
> Differntial und Integralrechnung:
Wenn die Aufgabe tatsächlich so lautet, hast du völlig Recht.
(Kurz zu überlegen ist noch, dass [mm] $\phi$ [/mm] tatsächlich nach G abbildet.)
Vermutlich sollte es in der Aufgabenstellung Epimorphismus statt Endomorphismus heißen. Dann brauchst du, dass jede Funktion [mm] $f\in [/mm] G$ eine Stammfunktion hat. Das folgt mit der Stetigkeit von f aus dem Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechnung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo, danke für deinen Post.
> Das folgt mit der Stetigkeit von f aus dem Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechnung.
Meinst du die Stetigkeit, weil man stetige Abbildungen immer integrieren kann?
Welche Teil des hauptsatzes verwendest du ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Fr 26.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Das folgt mit der Stetigkeit von f aus dem Hauptsatz der
> Integral- und Differenzialrechnung.
> Meinst du die Stetigkeit, weil man stetige Abbildungen
> immer integrieren kann?
> Welche Teil des hauptsatzes verwendest du ?
Es wird gerne übersehen, dass besagter Hauptsatz eine Aussage nur über stetige Abbildungen macht.
Die von mir verwendete Aussage:
Sei [mm] $I\subseteq\IR$ [/mm] ein mindestens aus zwei Punkten bestehendes Intervall, [mm] $a\in [/mm] I$. Sei [mm] $f\colon I\to\IR$ [/mm] stetig. Dann ist die Funktion
[mm] $F\colon I\to\IR, x\mapsto\int_a^xf(t)dt$
[/mm]
eine Stammfunktion von f.
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