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Householder - Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 So 29.12.2019
Autor: inkeddude

Guten Abend.

Vor den Weihnachtsferien haben wir die Householder - Transformation behandelt, die ich teilweise nicht verstanden habe. Seit vorgestern beschäftige ich mich damit, aber es tauchen Fragen auf, die ich selbst nach langem Denken keine Antwort habe.


Mein Prof orientiert sich am Skript vom Rannacher, daher schaue ich auch da rein.

Link dazu:  https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num0/numerik0.pdf


Das Householder - Verfahren umfasst 3 Seiten im Skript (ab Seite 141). Zu jeder Seite habe ich ein paar Fragen.

Ich versuche mich stückweise an das Thema anzunähern, so dass ich hier nicht gleich einen Roman schreibe.



Als erstes geht es mir darum, die Herleitung der Householdermatrizen zu verstehen. Die Herleitung ist auf Seite 143 zu finden.


Im ersten Schritt ist eine Skizze abgebildet, die mehr oder weniger die Herleitung der Householdermatrix darstellen soll.

Da ich mir nicht so sicher bin, die Skizze verstanden zu haben, habe ich sie mir nochmal in Geogebra Schritt für Schritt klar gemacht.


[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]


Habe ich das bis hier richtig verstanden?


Falls ja, weiß ich jetzt immer noch nicht, wie die Matrix $S = I - 2v [mm] \overline{v}^{T}$ [/mm] (also die Householder - Matrix) zustande kommt.


Ich habe gelesen, dass man dazu erst den grünen Vektor in Abhängigkeit von [mm] $\vec{a}$ [/mm] und $v$ bestimmen, um letztendlich die Householder - Matrix zu bestimmen.



[Dateianhang nicht öffentlich]





Aber ich weiß nicht, wie man das anstellen soll. Hat jemand eine Idee ? Wäre für jede Hilfe dankbar.





Leider werden meine Bilder nicht angezeigt. Ich weiß nicht, wo das Problem liegt. Dass die Herleitung der Householder - Matrix nicht von mir kommt, sondern aus dem Skript, habe ich ja erwähnt.

Die Skizzen auf den Bildern habe ich selber erstellt und nur so ist es mir möglich, mein Problem zu schildern.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 10 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Householder - Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:48 Fr 03.01.2020
Autor: meili

Hallo inkeddude,

> Guten Abend.
>  
> Vor den Weihnachtsferien haben wir die Householder -
> Transformation behandelt, die ich teilweise nicht
> verstanden habe. Seit vorgestern beschäftige ich mich
> damit, aber es tauchen Fragen auf, die ich selbst nach
> langem Denken keine Antwort habe.
>
>
> Mein Prof orientiert sich am Skript vom Rannacher, daher
> schaue ich auch da rein.
>  
> Link dazu:  
> https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num0/numerik0.pdf
>  
>
> Das Householder - Verfahren umfasst 3 Seiten im Skript (ab
> Seite 141). Zu jeder Seite habe ich ein paar Fragen.
>  
> Ich versuche mich stückweise an das Thema anzunähern, so
> dass ich hier nicht gleich einen Roman schreibe.
>  
>
>
> Als erstes geht es mir darum, die Herleitung der
> Householdermatrizen zu verstehen. Die Herleitung ist auf
> Seite 143 zu finden.
>  
>
> Im ersten Schritt ist eine Skizze abgebildet, die mehr oder
> weniger die Herleitung der Householdermatrix darstellen
> soll.
>
> Da ich mir nicht so sicher bin, die Skizze verstanden zu
> haben, habe ich sie mir nochmal in Geogebra Schritt für
> Schritt klar gemacht.
>  
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]

[ok]

>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]

Gesucht, bzw. gebraucht für die Householder-Transformation wird der Vektor [mm] $\vec{v}$ [/mm] (mit Norm 1), der die Spiegelachse erzeugt und
[mm] $\vec{a}'$ [/mm] soll in Richtung der [mm] $x_1$-Achse [/mm] ( [mm] $e_1$ [/mm] ) gehen.

>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]

[ok]

>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]

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>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]

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>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]

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>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]

[ok]

>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]

[ok]
Aber $v:= [mm] \bruch{v^{ \* }}{\parallel v^{ \* } \parallel} [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}+\parallel \vec{a} \parallel \cdot e_1}{\parallel \vec{a}+\parallel \vec{a} \parallel \cdot e_1 \parallel}$ [/mm]

>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]

[ok]
Und [mm] $v^{ \perp }$ [/mm] bekommt man durch [mm] $\vec{a}- \parallel \vec{a} \parallel \cdot e_1$, [/mm] was noch normiert werden muss.
[mm] $v^{ \perp } [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}-\parallel \vec{a} \parallel \cdot e_1}{\parallel \vec{a}-\parallel \vec{a} \parallel \cdot e_1 \parallel}$ [/mm]

>  
>
> Habe ich das bis hier richtig verstanden?
>  
>
> Falls ja, weiß ich jetzt immer noch nicht, wie die Matrix
> [mm]S = I - 2v \overline{v}^{T}[/mm] (also die Householder - Matrix)
> zustande kommt.

Doch, man hat alles zusammen um S [mm] ($S_1$) [/mm] zu berechnen:
I Einheitsmatrix, v und [mm] $v^{\perp}$ [/mm] wurden oben berechnet.

>  
>
> Ich habe gelesen, dass man dazu erst den grünen Vektor in
> Abhängigkeit von [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]v[/mm] bestimmen, um letztendlich
> die Householder - Matrix zu bestimmen.

Nö, für die Householder-Matrix, braucht man $v$ und [mm] $v^{ \perp }$, [/mm] die
aus [mm] $\vec{a}$ [/mm]  und [mm] $\vec{e_i}$ [/mm] berechnet werden.

>  
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
>
>
>
>
> Aber ich weiß nicht, wie man das anstellen soll. Hat
> jemand eine Idee ? Wäre für jede Hilfe dankbar.
>  
>
>
>
>
> Leider werden meine Bilder nicht angezeigt. Ich weiß
> nicht, wo das Problem liegt. Dass die Herleitung der
> Householder - Matrix nicht von mir kommt, sondern aus dem
> Skript, habe ich ja erwähnt.
>  
> Die Skizzen auf den Bildern habe ich selber erstellt und
> nur so ist es mir möglich, mein Problem zu schildern.  

Wenn man angemeldet ist, werden die Bilder angezeigt. (Vielleicht wurden
die Bilder erstmal auf Urheberrechte geprüft und solange noch nicht angezeigt)

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Householder - Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 So 05.01.2020
Autor: inkeddude

Hallo! Ich freue mich sehr über deine Antwort und darauf, dass ich bis hierhin doch alles richtig verstanden habe.


Nur weiß ich noch nicht oder kann mir noch nicht die Formel $S = I - 2 v [mm] \overline{v}^{T }$ [/mm] herleiten.


Ich habe mir zur Householder - Transformation folgendes Video angeschaut: https://www.youtube.com/watch?v=6TIVIw4B5VA&t=258s


Und da wird auch eine Darstellung des grünen Vektors gesucht. Im Video hat der Vektor die Form [mm] $u^{H} [/mm] x U$.

In meinem Fall hätte der grüne Vektor also die Form  [mm] $(u^{\perp})^{T} \cdot \vec{a} \cdot u^{\perp}$. [/mm]

Aber warum ist das so? Wie kommt man darauf ?

Wenn ich das einmal verstanden habe, dann wäre alles klar!


lg, Inkeddude

Bezug
                        
Bezug
Householder - Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:23 Mi 08.01.2020
Autor: meili

Hallo Inkeddude,

> Hallo! Ich freue mich sehr über deine Antwort und darauf,
> dass ich bis hierhin doch alles richtig verstanden habe.
>  
>
> Nur weiß ich noch nicht oder kann mir noch nicht die
> Formel [mm]S = I - 2 v \overline{v}^{T }[/mm] herleiten.
>  
>
> Ich habe mir zur Householder - Transformation folgendes
> Video angeschaut:
> https://www.youtube.com/watch?v=6TIVIw4B5VA&t=258s
>  
>
> Und da wird auch eine Darstellung des grünen Vektors
> gesucht. Im Video hat der Vektor die Form [mm]u^{H} x U[/mm].

Ja, im Video kommt der grüne Vektor als [mm] $u^H [/mm] x u$ vor,
wenn er von der Spitze des Vektors v zur Spitze des Vektors a geht.
Zeigt er in die andere Richtung, ist er [mm] $-u^H [/mm] x u$.

[mm] ($u^H$ [/mm]  entspricht [mm] $\bar{u}^T$) [/mm]

Im Video ist u ein Vektor der Länge 1, der senkrecht auf der Spiegelebene oder Spiegelgeraden steht.
Auch der grüne Vektor steht senkrecht auf der Spiegelebene oder Spiegelgeraden.
u und der grüne Vektor sind parallel, nur hat der grüne Vektor
normalerweise eine andere Länge, nämlich von der Spitze von a bis zur Spiegelgeraden.

[mm] $u^H [/mm] x$ ist das Skalarprodukt von u und x. Man bekommt damit die
richtige Länge des grünen Vektors, aber ich würde es $(x^Tu)u$ schreiben, siehe
[]Projektion mit Einheitsvektor, aber im reellen ist das Skalarprodukt kommutativ.

Im Video wird gezeigt, dass [mm] $\vec{x}' [/mm] = [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] 2u^H \vec{x} [/mm] u$ durch Vektoraddition mit dem grünen Vektor.
Aber [mm] $\vec{x}' [/mm] $ erhält man auch, wenn man  [mm] $\vec{x}$ [/mm] mit der Matrix [mm] $I-2uu^H$ [/mm] multipliziert.
Die Umformung von $ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] 2u^H \vec{x} [/mm] u$ zu $(I - 2 [mm] uu^H)\vec{x}$ [/mm] ist ein bißchen schluderig,
aber siehe auch []Projektionsoperator und Spiegelung

In deinem Fall hätte der grüne Vektor also die Form  
[mm](v^{\perp})^{T} \cdot \vec{a} \cdot v^{\perp}[/mm]

>  
> In meinem Fall hätte der grüne Vektor also die Form  
> [mm](u^{\perp})^{T} \cdot \vec{a} \cdot u^{\perp}[/mm].
>  
> Aber warum ist das so? Wie kommt man darauf ?
>
> Wenn ich das einmal verstanden habe, dann wäre alles
> klar!

Ich weis auch nicht, ob das jetzt klarer wird.

>  
>
> lg, Inkeddude

Gruß
meili

Bezug
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