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Hyperboloid in hoher Dimension: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Do 02.06.2016
Autor: XPatrickX

Hallo zusammen,

die Gleichung [mm] $x_1^2+x_2^2-x_3^2=R$ [/mm] beschreibt ein Hyperboloid (genauer gesagt: Den Rand eines Hyperboloids, also eine zweidimensionale Fläche). Ist $R>0$ so spricht man von einem einschaligen Hyperboloid, ist $R<0$ so zerfällt der Körper in zwei Teile und man spricht vom zweischaligen Hyperboloid.

Nun gilt meiner Meinung nach dasselbe für die Gleichung der Form
[mm] $$\sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 [/mm] - [mm] x_n^2=R.$$ [/mm]
Für $R<0$ zerfällt dieses ebenfalls in zwei Teile.

Was passiert aber zum Beispiel bei dem dreidimensionalen Objekt
[mm] $$x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2=-1$$ [/mm]

Aus wie vielen Teilen besteht dies?
Vielen Dank!



        
Bezug
Hyperboloid in hoher Dimension: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 Fr 03.06.2016
Autor: hippias

Ich finde, das ist eine interessante Frage. Meiner Überlegung nach, gibt für alle Punkte der Menge ein [mm] $r\geq [/mm] 1$, [mm] $\phi,\psi\in [0,2\pi)$ [/mm] so, dass [mm] $x_{1}= \sqrt{r^{2}-1}\cos(\psi)$, $x_{2}= \sqrt{r^{2}-1}\sin(\psi)$, $x_{3}= r\cos(\phi)$ [/mm] und [mm] $x_{4}= r\sin(\phi)$ [/mm] ist.

Daher scheint mir die Menge wegzusammenhängend zu sein.

Bezug
        
Bezug
Hyperboloid in hoher Dimension: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Fr 03.06.2016
Autor: leduart

Hallo
wenn du 2 + 2 - Zeichen hast ist die rechte Seite für zusammenhängend oder nicht, egal, da du ja mit -1 multiplizieren kannst und dann die 2 andern neg bzw positiv sind.
Dagegen ist [mm] x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2=-|R| [/mm] zerfallend da es keine Punkte in der Hyperebene [mm] x_4=0 [/mm] gibt.
zerfallend ist also leicht zu zeigen, nicht zerfallend schwieriger, es muss Kurven geben, die jeden Punkt mit jedem anderen verbinden.
Gruß leduart

Bezug
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