Idempotente Elemente < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 So 05.07.2009 | | Autor: | matze670 |
| Aufgabe | Es seien x und y idempotente Elemente der Banachalgebra A mit xy=yx.
Man zeige, dass entweder x=y oder llx-yll [mm]\ge [/mm] 1 gilt. |
Leider habe ich bisher keinen Ansatz, obwohl ich hier schon eine ganze Weile dran sitze....
Vielleicht kann mir aber trotzdem schon jemand helfen...
Und sobald ich einen möglichen Ansatz gefunden habe, melde ich mich!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße und danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 So 05.07.2009 | | Autor: | Merle23 |
$$ Betrachte \ mal \ (x-y)(x+y). $$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Di 07.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es seien x und y idempotente Elemente der Banachalgebra A
> mit xy=yx.
>
> Man zeige, dass entweder x=y oder llx-yll [mm]\ge[/mm] 1 gilt.
> Leider habe ich bisher keinen Ansatz, obwohl ich hier
> schon eine ganze Weile dran sitze....
>
> Vielleicht kann mir aber trotzdem schon jemand helfen...
>
> Und sobald ich einen möglichen Ansatz gefunden habe, melde
> ich mich!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Liebe Grüße und danke im Voraus!
Wegen [mm] $x^2=x, y^2 [/mm] =y $ und $xy=yx$ folgt (nachrechnen):
[mm] $(x-y)^3 [/mm] = x-y$.
Somit
(*) $||x-y|| = [mm] ||(x-y)^3|| \le ||x-y||^3$
[/mm]
Fall 1: x=y. fertig !
Fall 2: x [mm] \not= [/mm] y. Aus (*) folgt dann:
$1 [mm] \le ||x-y||^2$,
[/mm]
daher: $1 [mm] \le [/mm] ||x-y||$.
FRED
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