Identitätssatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Di 22.05.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Gibt es eine holomorphe Funktion [mm]f:\{z\in \IC:|z|<2\} \to \IC\[/mm], so dass [mm] f(\frac{1}{2})=2[/mm] ist und [mm] |f(z)|= 1 [/mm] für alle [mm] z\in\IC [/mm] mit [mm]|z|=1 [/mm] gilt? |
Hallo,
Lösung:
Behauptung: nein
Angenommen es gibt eine solche Funktion f. Dann erfüllt [mm]f(z)=\frac{1}{z}[/mm] die Eigenschaften [mm]f(\frac{1}{2})=2[/mm] und [mm]|f(z)|=\frac{1}{|z|}=1[/mm] für alle [mm] z \in \IC[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm].
Die Menge [mm]\{\frac{1}{n}\in \IC: n\in \IN\} \subset {z\in \IC: f(z)=\frac{1}{z}\} [/mm] hat den Häufungspunkt 0 in [mm]\{z\in \IC:|z|<2\}[/mm]. Also gilt nach dem Identitätssatz [mm]f(z)=\frac{1}{z}[/mm]. Dann bestitzt f jedoch wegen [mm]\limes_{z\rightarrow 0} f(z) = \infty[/mm] eine hebbare Singularität in 0, ist also nicht holomorph in 0. Widerspruch zu f ist holomorph auf [mm]\{z\in \IC: |z|< 2\}[/mm].
Stimmt das so?
Vielen Dank!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Di 22.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gibt es eine holomorphe Funktion [mm]f:\{z\in \IC:|z|<2\} \to \IC\[/mm],
> so dass [mm]f(\frac{1}{2})=2[/mm] ist und [mm]|f(z)|= 1[/mm] für alle
> [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm] gilt?
> Hallo,
>
> Lösung:
> Behauptung: nein
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Angenommen es gibt eine solche Funktion f. Dann erfüllt
> [mm]f(z)=\frac{1}{z}[/mm] die Eigenschaften [mm]f(\frac{1}{2})=2[/mm] und
> [mm]|f(z)|=\frac{1}{|z|}=1[/mm] für alle [mm]z \in \IC[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm].
> Die Menge [mm]\{\frac{1}{n}\in \IC: n\in \IN\} \subset {z\in \IC: f(z)=\frac{1}{z}\}[/mm]
Wieso ist $f(1/n) = n$ fuer alle $n [mm] \in \IN$?
[/mm]
> hat den Häufungspunkt 0 in [mm]\{z\in \IC:|z|<2\}[/mm]. Also gilt
> nach dem Identitätssatz [mm]f(z)=\frac{1}{z}[/mm].
Das wuerde auch nicht gehen, da 0 kein Haeufungspunkt im Definitionsbereich von $z [mm] \mapsto \frac{1}{z}$ [/mm] ist.
Verwende doch einfach das Maximumsprinzip.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 22.05.2012 | | Autor: | teo |
> Verwende doch einfach das Maximumsprinzip.
>
> LG Felix
>
Hallo,
mit der Verwendung vom Maximumsprinzip bin ich nicht so wirklich sicher:
Bedeutet die Eigenschaft [mm] f(\frac{1}{2})=2, [/mm] dass wegen [mm] |f(\frac{1}{2})|=|2|=2, [/mm] und |f(z)|=1 für alle [mm] z\in \IC [/mm] mit |z|= 1, dass f in [mm] \frac{1}{2} [/mm] ein lokales Maximum annimmt?
Daraus würde dann folgen, dass f konstant ist, also nicht obige Eigenschaften erfüllt, oder?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Verwende doch einfach das Maximumsprinzip.
> >
> > LG Felix
> >
>
> Hallo,
>
> mit der Verwendung vom Maximumsprinzip bin ich nicht so
> wirklich sicher:
>
> Bedeutet die Eigenschaft [mm]f(\frac{1}{2})=2,[/mm] dass wegen
> [mm]|f(\frac{1}{2})|=|2|=2,[/mm] und |f(z)|=1 für alle [mm]z\in \IC[/mm] mit
> |z|= 1, dass f in [mm]\frac{1}{2}[/mm] ein lokales Maximum annimmt?
Nein, so nicht.
Das Max.-Prinzip sagt z.B.: f nimmt auf [mm] D:=\{z \in \IC:|z| \le 1\} [/mm] sein Max. auf [mm] \partial [/mm] D an.
Kann das bei obigem f sein ?
FRED
> Daraus würde dann folgen, dass f konstant ist, also nicht
> obige Eigenschaften erfüllt, oder?
>
> Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Di 22.05.2012 | | Autor: | teo |
Sieht der Beweis dann in etwa so aus?
Angenommen f ist holomorph in [mm]G := \{z\in \IC : |z| \leq 1\} \subset \{z \in \IC : |z| < 2\} [/mm] dann nimmt f wegen [mm] max_{z \in \overline{G}} \left| f(z) \right| = max_{z \in \partial G} \left|f(z) \right| = max_{|z|=1} \left|f(z)\right| = 1 [/mm] sein Maximum in 1 an. [mm]f(\frac{1}{2})= 2 > 1[/mm] liefert einen Widerspruch. Folglich ist f nicht holomorph auf G und somit auch nicht in [mm] \{z \in \IC : |z| < 2\}.
[/mm]
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:15 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sieht der Beweis dann in etwa so aus?
Ja
FRED
>
> Angenommen f ist holomorph in [mm]G := \{z\in \IC : |z| \leq 1\} \subset \{z \in \IC : |z| < 2\}[/mm]
> dann nimmt f wegen [mm]max_{z \in \overline{G}} \left| f(z) \right| = max_{z \in \partial G} \left|f(z) \right| = max_{|z|=1} \left|f(z)\right| = 1[/mm]
> sein Maximum in 1 an. [mm]f(\frac{1}{2})= 2 > 1[/mm] liefert einen
> Widerspruch. Folglich ist f nicht holomorph auf G und somit
> auch nicht in [mm]\{z \in \IC : |z| < 2\}.[/mm]
>
> Danke
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