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| Aufgabe | Beweisen sie durch vollständige Induktion, dass:
[mm]x^{2n}-y^{2n}[/mm] durch [mm]x+y[/mm] teilbar ist. |
Mein Ansatz ist:
Induktionsbeginn:
[mm]n=1[/mm] [mm] \to[/mm] [mm]x^2-y^2[/mm] geteilt durch [mm]x+y[/mm]:
[mm]\bruch{x^2-y^2}{x+y}[/mm]
=[mm]\bruch{(x+y) \cdot (x-y)}{x+y}[/mm] (Binomische Formel)
=[mm]x-y[/mm]
[mm] \to [/mm] Aussage wahr
Induktionsschluss (unvollständig, weil ich hier nicht weiterkomme):
[mm]x^{2(n+1)}-y^{2(n+1)}[/mm]=[mm]x^{2n+2}-y^{2n+2}[/mm]
Aufgelöst mit Potenzregeln:
[mm]x^{2n}+x^2-y^{2n}+y^2[/mm]
Umstellen:
[mm]x^{2n}-y^{2n}+x^2+y^2[/mm]
Einsetzen des Terms (Anfang):
[mm](x+y) \cdot m + x^2 +y^2[/mm]
Jetzt komme ich nicht mehr weiter. Müsste ich den Term [mm] (x+y)[/mm] nicht ausklammern können, damit ich zeigen könnte, dass [mm]x^{2n}-y^{2n}[/mm] durch selbigen teilbar ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Al,
Danke für die schnelle Hilfe, aber ich sehe in dem Term keine binomische Formel. Ich habe ihn jetzt richtig umgeschrieben:
[mm]x^{2n} \cdot x^2 - y^{2n} \cdot y^2[/mm]
Kannst du mir noch mal unter die Arme greifen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Di 05.08.2008 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Danke für die schnelle Hilfe, aber ich sehe in dem Term
> keine binomische Formel. Ich habe ihn jetzt richtig
> umgeschrieben:
>
> [mm]x^{2n} \cdot x^2 - y^{2n} \cdot y^2[/mm]
>
> Kannst du mir noch mal unter die Arme greifen?
Es ist doch [mm] x^{2n} \cdot x^2 [/mm] - [mm] y^{2n} \cdot y^2 [/mm] =
[mm] x^{2n} \cdot x^2 [/mm] - [mm] x^{2n} \cdot y^{2} [/mm] + [mm] x^{2n} \cdot y^{2} [/mm] - [mm] y^{2n} \cdot y^2 [/mm] = (jetzt geschickt ausklammern)
Dieser Trick wird immer wieder gerne genommen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
erst einmal Grüße an dich als Nordlicht (ich bin Kieler) und vielen Dank, ich verzweifle hier gerade wortwörtlich.
[mm]x^{2n} \cdot x^2[/mm] - [mm]x^{2n} \cdot y^{2}[/mm] + [mm]x^{2n} \cdot y^{2}[/mm] - [mm]y^{2n} \cdot y^2[/mm]
=[mm]x^{2n} \cdot x^2 - x^{2n} \cdot y^2 + y^2 (x^{2n}-y^{2n})[/mm]
=[mm]x^{2n} \cdot x^2 - x^{2n} \cdot y^2 + y^2 (x+y)m[/mm]
Jetzt weiss ich nicht, ob ich alles richtig gemacht habe was folgt, allerdings scheint es aufzugehen:
[mm]x^{2n}(x^2-y^2)+y^2(x+y)m[/mm]
[mm]x^{2n}(x+y)(x-y)+y^2(x+y)m[/mm]
[mm](x+y) \cdot [x^{2n}(x-y)+y^2m][/mm]
Wäre damit die Beweisführung abgeschlossen oder habe ich in der Hoffnung den Term [mm](x+y)[/mm] zu finden ein mathematisches Kapitalverbrechen begangen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Di 05.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Dieter,
>
> erst einmal Grüße an dich als Nordlicht (ich bin Kieler)
> und vielen Dank, ich verzweifle hier gerade wortwörtlich.
>
> [mm]x^{2n} \cdot x^2[/mm] - [mm]x^{2n} \cdot y^{2}[/mm] + [mm]x^{2n} \cdot y^{2}[/mm]
> - [mm]y^{2n} \cdot y^2[/mm]
>
> =[mm]x^{2n} \cdot x^2 - x^{2n} \cdot y^2 + y^2 (x^{2n}-y^{2n})[/mm]
>
> =[mm]x^{2n} \cdot x^2 - x^{2n} \cdot y^2 + y^2 (x+y)m[/mm]
*****
>
> Jetzt weiss ich nicht, ob ich alles richtig gemacht habe
> was folgt, allerdings scheint es aufzugehen:
>
> [mm]x^{2n}(x^2-y^2)+y^2(x+y)m[/mm]
>
> [mm]x^{2n}(x+y)(x-y)+y^2(x+y)m[/mm]
>
> [mm](x+y) \cdot [x^{2n}(x-y)+y^2m][/mm]
>
> Wäre damit die Beweisführung abgeschlossen oder habe ich in
> der Hoffnung den Term [mm](x+y)[/mm] zu finden ein mathematisches
> Kapitalverbrechen begangen?
>
Nein hast Du nicht, es wäre alles O.K., wenn Du an der von mir mit ****
gekennzeichneten Stelle noch begründest, dass hier die Induktionsvor. eingeht
FRED
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Hiho Fred, Al und Dieter!
Danke für Eure Hilfe.
@ Fred, das hätte ich grundsätzlich eigentlich auch, allerdings ist der Ausschnitt, welchen du gerade Korrektur gelesen hast nur für die Fehlersuche ohne Beschriftung geblieben.
mfg der cakes!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
