matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-FinanzmathematikInduktionsbeweis
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Finanzmathematik" - Induktionsbeweis
Induktionsbeweis < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Finanzmathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Induktionsbeweis: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Sa 14.01.2023
Autor: rosimosi

Aufgabe
[mm] P_{z}(n,T)= \frac{P_{0}(n-z,T)}{P_{0}(n-z,n)}\cdot \prod_{k=0}^{z-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)} [/mm]
für alle n [mm] \in [/mm] {0,...,T} und z [mm] \in [/mm] {0,...,n}
zu zeigen: n -> n+1

Hallo,
die Gleichung ist auch gleichzeitig meine Induktionsvoraussetzung.
Ich muss das ganze nun für n+1 zeigen.
Den Ansatz habe ich schon aufstellen können.Als Hinweis: [mm] \frac{P_{z-1}(n,T)}{P_{z-1}(n,n+1)}\cdot [/mm] h(T-(n+1)) hat der Professor vorgegeben. Ich muss mit diesem Term den Induktionsschritt beginnen. Mein Ansatz siehtso aus:
Induktionsschritt:
[mm] P_{z}(n+1,T)= \frac{P_{z-1}(n,T)}{P_{z-1}(n,n+1)}\cdot h(T-(n+1))=\frac{\frac{P_{0}(n-z,T)}{P_{0}(n-z,n)}\cdot\prod_{k=0}^{z-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}}{\frac{P_{0}(n-z,T)}{P_{0}(n-z,n+1)}\cdot \prod_{k=0}^{z-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}}\cdot [/mm] h(T-(n+1))

Ab hier weiss ich nicht mehr weiter :/. Wie kann ich denn mit zwei Produktzeichen arbeiten? Wäre sehr nett, wenn ich einen Tipp kriegen könnte.

Die Indukstionsbehauptung ist:
[mm] P_{z}(n+1,T)= \frac{P_{0}(n+1-z,T)}{P_{0}(n+1-z,n+1)}\cdot \prod_{k=0}^{z-1}\frac{h(T-(n+1)+k)}{h(k)} [/mm]

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=603860

        
Bezug
Induktionsbeweis: Bedeutung ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 Sa 14.01.2023
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo rosimosi,

könntest du uns (ev. als kleine Motivation) eine Idee davon übermitteln,
was die hier vorkommenden Funktionen  $ [mm] P_z(n,T)$ [/mm] und  $h(k)$  inhaltlich bedeuten ?
Ganz ohne Vorstellung davon ist das Ganze schon eine sehr abstrakte Übung .....

LG ,    Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Induktionsbeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Sa 14.01.2023
Autor: rosimosi

Hallo Al-Chwarizmi,

Ich stelle in meiner Arbeit das Zinsstrukturmodell von Ho und Lee vor. Ho und Lee haben für ihr Modell aus einer risikolosen NKA (Nullkuponanleihe) ausgehend von der Diskontierungsfunktion [mm] $P_{z}(t,T)$ [/mm] in $t=0$ multipliziert mit einer Störfunktion konstruiert.
$ [mm] P_z(n,T) [/mm] $ gibt in einem Binomialmodell den Zerobondpreis in Periode n nach z Aufwärtsbewegungen.

Im mehrperiodgen Binomialmodell ist der Preis einer NKA in Periode n nach z Aufwärtsbewegungen:

[mm] P_{z}(n,T)= \dfrac{P_{z-1}(n-1,T)}{P_{z-1}(n-1,n)}\cdot h(T-n)\\ [/mm]
= [mm] \dfrac{P_{z-2}(n-2,T)}{P_{z-2}(n-2,n)}\cdot \dfrac{h(T-n+1)\cdot h(T-n)}{h(1)}\\ [/mm]
= [mm] \dfrac{P_{z-3}(n-3,T)}{P_{z-3}(n-3,n)}\cdot\dfrac{h(T-n+2)\cdot h(T-n+1) \cdot h(T-n)}{h(2) \cdot h(1)} \\ [/mm]
= [mm] \dfrac{P_{0}(n-z,T)}{P_{0}(n-z,n)}\cdot\dfrac{h(T-n+z-1)\cdots h(T-n)}{h(z-1) \cdots h(1)} [/mm]

und über dieses rekursive Einsetzen muss ich in ein Induktionsbeweis durchführen.


Bezug
        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Mo 16.01.2023
Autor: meili

Hallo rosimosi,

[willkommenmr]

> [mm]P_{z}(n,T)= \frac{P_{0}(n-z,T)}{P_{0}(n-z,n)}\cdot \prod_{k=0}^{z-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}[/mm]
>  
> für alle n [mm]\in[/mm] {0,...,T} und z [mm]\in[/mm] {0,...,n}
>  zu zeigen: n -> n+1

>  Hallo,
> die Gleichung ist auch gleichzeitig meine
> Induktionsvoraussetzung.
>  Ich muss das ganze nun für n+1 zeigen.
> Den Ansatz habe ich schon aufstellen können.Als Hinweis:
> [mm]\frac{P_{z-1}(n,T)}{P_{z-1}(n,n+1)}\cdot[/mm] h(T-(n+1)) hat der
> Professor vorgegeben. Ich muss mit diesem Term den
> Induktionsschritt beginnen. Mein Ansatz siehtso aus:
>  Induktionsschritt:
>  [mm]P_{z}(n+1,T)= \frac{P_{z-1}(n,T)}{P_{z-1}(n,n+1)}\cdot h(T-(n+1))=\frac{\frac{P_{0}(n-z,T)}{P_{0}(n-z,n)}\cdot\prod_{k=0}^{z-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}}{\frac{P_{0}(n-z,T)}{P_{0}(n-z,n+1)}\cdot \prod_{k=0}^{z-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}}\cdot[/mm]
> h(T-(n+1))

Es ist nicht leicht, bei den Indices und Variablen durchzublicken.
Deshalb nochmal für [mm] $P_{z-1}(n,T)$ [/mm] und [mm] $P_{z-1}(n,n+1)$ [/mm] eingesetzt analog zu der zu beweisenden Formel und danach etwas zusammengefasst:

[mm] $P_{z-1}(n,T) [/mm] =  [mm] \frac{P_{0}(n-(z-1),T)}{P_{0}(n-(z-1),n)}\cdot \prod_{k=0}^{(z-1)-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)} [/mm] =  [mm] \frac{P_{0}(n-z+1),T)}{P_{0}(n-z+1,n)}\cdot \prod_{k=0}^{(z-1)-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)} [/mm] = [mm] \frac{P_{0}(n+1-z),T)}{P_{0}(n+1-z,n)}\cdot \prod_{k=0}^{(z-1)-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}$ [/mm]

[mm] $P_{z-1}(n,n+1) [/mm] = [mm] \frac{P_{0}(n-(z-1),n+1)}{P_{0}(n-(z-1),n)}\cdot \prod_{k=0}^{(z-1)-1}\frac{h((n+1)-n+k)}{h(k)} [/mm] = [mm] \frac{P_{0}(n-z+1, n+1)}{P_{0}(n-z+1), n)}\cdot \prod_{k=0}^{(z-1)-1}\frac{h(k+1)}{h(k)} [/mm] = [mm] \frac{P_{0}(n+1-z, n+1)}{P_{0}(n+1-z), n)}\cdot \prod_{k=0}^{(z-1)-1}\frac{h(k+1)}{h(k)}$ [/mm]

>  

Macht dann aus deinem Ansatz:

[mm]P_{z}(n+1,T)= \frac{P_{z-1}(n,T)}{P_{z-1}(n,n+1)}\cdot h(T-(n+1)) = \frac{\frac{P_{0}(n+1-z),T)}{P_{0}(n+1-z,n)}\cdot \prod_{k=0}^{(z-1)-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}}{ \frac{P_{0}(n+1-z, n+1)}{P_{0}(n+1-z), n)}\cdot \prod_{k=0}^{(z-1)-1}\frac{h(k+1)}{h(k)}}\cdot h(T-(n+1)) = [/mm]

Bei dem Doppelbruch kann man mit dem Kehrwert multiplizieren.
Bei den Produkten könnte man anfangen, sie ansatzweise auszuschreiben,
um zusehen was sich kürzen lässt.

$ = [mm] \frac{P_{0}(n+1-z),T)}{P_{0}(n+1-z, n+1)} \cdot \frac{\left( \prod_{k=0}^{(z-1)-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}\right)\cdot h(T-(n+1))}{\frac{h(1)}{h(0)}\cdot \frac{h(2)}{h(1)} \cdot \ldots \cdot \frac{h(z-1)}{h(z)}} [/mm]  $

> Ab hier weiss ich nicht mehr weiter :/. Wie kann ich denn
> mit zwei Produktzeichen arbeiten? Wäre sehr nett, wenn ich
> einen Tipp kriegen könnte.
>  
> Die Indukstionsbehauptung ist:
>  [mm]P_{z}(n+1,T)= \frac{P_{0}(n+1-z,T)}{P_{0}(n+1-z,n+1)}\cdot \prod_{k=0}^{z-1}\frac{h(T-(n+1)+k)}{h(k)}[/mm]
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=603860

Ich habe es nicht weiter gerechnet, aber wenn weitere Fragen auftauchen
nur zu.

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Induktionsbeweis: Dankeee!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Mo 16.01.2023
Autor: rosimosi

Hallo meili,
herzlichen Dank. Du kannst Dir nicht vorstellen, wie glücklich ich gerade bin. Ich habe endlich das richtige heraus.
Vielen Dank!

Bezug
                
Bezug
Induktionsbeweis: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Di 17.01.2023
Autor: rosimosi

Aufgabe
Den Induktionsschritt für $z=0$ durchführen.

Hallo,
ich habe noch eine Frage.
Und zwar ist dieser Induktionsbeweis für $z>0$ durchgeführt worden. Bei einer Fallunterscheidung müsste ich noch für $z=0$ den Induktionsschritt berechnen müssen.
Wie würde der Induktionsschritt denn aussehen, wenn ich die Induktion für $z=0$ durchführen möchte?


Meine Überlegung:
ich setze schon am Anfang $z=0$:
Die Induktionsbehauptung für $z=0$ würde dann so aussehen:
$ [mm] P_{0}(n+1,T)= \frac{P_{0}(n,T)}{P_{0}(n,n+1)}\cdot \prod_{k=0}^{-1}\frac{h(T-(n+1)+k)}{h(k)}= \frac{P_{0}(n,T)}{P_{0}(n,n+1)} \cdot [/mm]  $

und der Induktionsschritt so:
$ [mm] P_{0}(n+1,T)= \frac{P_{0}(n,T)}{P_{0}(n,n+1)}\cdot [/mm] h(T-(n+1)) = [mm] \frac{\frac{P_{0}(n),T)}{P_{0}(n,n)}\cdot \prod_{k=0}^{(-1)}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}}{ \frac{P_{0}(n, n+1)}{P_{0}(n), n)}\cdot \prod_{k=0}^{(-1}\frac{h(k+1)}{h(k)}}\cdot [/mm] h(T-(n+1)) = $

Das Problem ist dann aber, dass ich auf diese Weise eigentlich die Induktionsvoraussetzung nicht benutzen kann und im Doppelbruch das Produktzeichen gleich 1 ist.

Bezug
                        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:42 Do 19.01.2023
Autor: meili

Hallo rosimosi,

> Den Induktionsschritt für [mm]z=0[/mm] durchführen.
>  Hallo,
> ich habe noch eine Frage.
> Und zwar ist dieser Induktionsbeweis für [mm]z>0[/mm] durchgeführt
> worden. Bei einer Fallunterscheidung müsste ich noch für
> [mm]z=0[/mm] den Induktionsschritt berechnen müssen.
>  Wie würde der Induktionsschritt denn aussehen, wenn ich
> die Induktion für [mm]z=0[/mm] durchführen möchte?
>  
>
> Meine Überlegung:
>  ich setze schon am Anfang [mm]z=0[/mm]:
>  Die Induktionsbehauptung für [mm]z=0[/mm] würde dann so
> aussehen:
>  [mm]P_{0}(n+1,T)= \frac{P_{0}(n,T)}{P_{0}(n,n+1)}\cdot \prod_{k=0}^{-1}\frac{h(T-(n+1)+k)}{h(k)}= \frac{P_{0}(n,T)}{P_{0}(n,n+1)} \cdot [/mm]

Würde die Induktionsbehauptung für [mm]z=0[/mm]  so aussehen (rein formal):

  [mm]P_{0}(n+1,T)= \frac{P_{0}(n+1,T)}{P_{0}(n+1,n+1)}\cdot \prod_{k=0}^{-1}\frac{h(T-(n+1)+k)}{h(k)}= \frac{P_{0}(n+1,T)}{P_{0}(n+1,n+1)} [/mm] ?

Rein formal wäre der Induktionsanfang für $n=0$ und $z=0$:

[mm] $P_0(0,T) [/mm] = [mm] \frac{P_0(0,T)}{P(0,0)}$ [/mm]

>  
> und der Induktionsschritt so:
>  [mm]P_{0}(n+1,T)= \frac{P_{0}(n,T)}{P_{0}(n,n+1)}\cdot h(T-(n+1)) = \frac{\frac{P_{0}(n),T)}{P_{0}(n,n)}\cdot \prod_{k=0}^{(-1)}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}}{ \frac{P_{0}(n, n+1)}{P_{0}(n), n)}\cdot \prod_{k=0}^{(-1}\frac{h(k+1)}{h(k)}}\cdot h(T-(n+1)) =[/mm]
>  
> Das Problem ist dann aber, dass ich auf diese Weise
> eigentlich die Induktionsvoraussetzung nicht benutzen kann
> und im Doppelbruch das Produktzeichen gleich 1 ist.

Das Problem ist, dass in der Induktionsbehauptung kein n-1 vorkommt,
dann könnte man von n auf n+1 schließen.
Würde es inhaltlich sinnvoll sein, dass z Null bleibt, aber n wächst?
Das wären dann mehrere Perioden ohne eine Aufwärtsbewegung davor.
Gibt es Formeln für diesen Fall?

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
Induktionsbeweis: Vermutung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 Fr 20.01.2023
Autor: rosimosi

Hallo meili,

meine Induktionsbehauptung sieht auch genauso aus
$ [mm] P_{0}(n+1,T)= \frac{P_{0}(n+1,T)}{P_{0}(n+1,n+1)}\cdot \prod_{k=0}^{-1}\frac{h(T-(n+1)+k)}{h(k)}= \frac{P_{0}(n+1,T)}{P_{0}(n+1,n+1)} [/mm] $
Ich hatte meine Fehler, Dank Ihrer Hilfe, gefunden und verbessert. :)

Ich habe eine Vermutung, wie ich die Aufgabe lösen könnte.
Anscheinend muss ich die Induktionsbehauptung $z=0$ setzen und dann im Induktionsschritt weiter mit $z=0$ rechnen und vergleichen, ob beide Lösungen gleich sind. Und nach meinen Rechnungen kommt auch dasselbe heraus.

> Gibt es Formeln für diesen Fall?

Es gibt eine Formel für die Abwärtsbewegung im Ho-Lee Modell.
Im Binomialbaum von Ho und Lee gibt es nämlich einen Zweig, bei dem der Zustand z immer 0 ist, keine Aufwärtsbewegungen vorhanden sind.
Ich vermute, dass ich deswegen eine Fallunterscheidung durchführen musste.
Denn alle anderen Zweige haben mindestens eine Aufwärtsbewegung.


Ich danke Ihnen sehr für Ihre Rückmeldung. :)

Freundliche Grüße
rosimosi

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Finanzmathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]