matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenTopologie und GeometrieInduzierte Topologie
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Topologie und Geometrie" - Induzierte Topologie
Induzierte Topologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Induzierte Topologie: Hilfe bei Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Mo 09.07.2018
Autor: Stala

Aufgabe
Sei [mm] \( [/mm] Y = [mm] \mathbb{N} \cup\infty \) [/mm] die Menge der natürlichen Zahlen, die um das Symbol [mm] \( \infty \) [/mm] erweitert wurde. Wir definieren den topologischen Raum [mm] (Y,\mathcal{S}) [/mm] wie folgt:
[mm] \( \mathcal{S}= \{ A \subset Y \, | \, \infty \in A \rightarrow Y \backslash A \, \, \text{endlich} \} \) [/mm]

Setzt man [mm] \( \frac{1}{\infty} [/mm] = 0 [mm] \), [/mm] wo wird die Topologie [mm] \( \mathcal{S} \) [/mm] durch die Metrik [mm] \( [/mm] d(x,y) = [mm] \lvert \frac{1}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{y} \rvert \) [/mm] induziert.

Dies ist keine Übung, sondern wird in einem topolgischen Beweis verwendet. Weitere Erläuterung gibt es wegen Offensichtlichkeit nicht.

Ich verstehe nur nicht, warum diese Metrik die Topologie induziert. Nach meinem Verständnis sind alle Teilmengen A [mm] \subset [/mm] Y offen, die [mm] \( \infty \) [/mm] nicht enthalten sowie diejenigen, die [mm] \( \infty \) [/mm] enthalten, dann aber  Y [mm] \backslash [/mm] A  endlich ist, also sind insbesondere alle Einzelpunkte offen.

Wie aber soll z.B. eine offene Kugel S (2,r) = [mm] \{ x \in Y, \, | \quad \lvert \frac{1}{2} - \frac{1}{x}\rvert < r \} [/mm]   aussehen, sodass [mm] \( [/mm] S(2,r) [mm] \subset \{2 \} \)? [/mm]

Ich stehe hier etwa auf dem Schlauch, kann mir jemand da helfen?

Viele Grüße



        
Bezug
Induzierte Topologie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Mo 09.07.2018
Autor: ChopSuey

Hallo Stala,

> Sei [mm]\([/mm] Y = [mm]\mathbb{N} \cup\infty \)[/mm] die Menge der
> natürlichen Zahlen, die um das Symbol [mm]\( \infty \)[/mm]
> erweitert wurde. Wir definieren den topologischen Raum
> [mm](Y,\mathcal{S})[/mm] wie folgt:
>  [mm]\( \mathcal{S}= \{ A \subset Y \, | \, \infty \in A \rightarrow Y \backslash A \, \, \text{endlich} \} \)[/mm]
>  

die Notation ist etwas ungewöhnlich, aber gemeint ist sicher die sog. kofinite Topologie (über [mm] $\IN$). [/mm] Sie erfüllt das [mm] $T_0$ [/mm] Trennungsaxiom, ist aber kein Hausdorff-Raum, also nicht [mm] $T_2$. [/mm] Und das ist ein Problem. Denn eine wesentliche Eigenschaft der Metrisierbarkeit ist das Hausdorffsche Trennungsaxiom.


>  
> Ich verstehe nur nicht, warum diese Metrik die Topologie
> induziert.
>  

Ich auch nicht, und das tut sie auch nicht, wenn wir von der kofiniten Topologie reden da das Hausdorffsche TrennungsAxiom [mm] $T_2$ [/mm] nicht erfüllt wird. Die kofinite Topologie ist durch eine Metrik jedenfalls nicht induzierbar.

LG,
ChopSuey



Bezug
                
Bezug
Induzierte Topologie: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 07:13 Di 10.07.2018
Autor: Stala

Hallo,

vielen Dank, aber bei [mm] \mathcal{S} [/mm] soll es sich nicht um die kofinite Topologie handeln, die ist an anderer Stelle des Kurses definiert über:

[mm] \mathcal{T} [/mm] = [mm] \{ A \subset X \quad | \quad X \backslash A \quad \text{endlich} \} [/mm]
und auch als nicht metrisierbar bewiesen.

Anders herum gefragt: welche Topologie induziert denn die Metrik d(x,y) = [mm] \lvert \frac{1}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{y} \rvert [/mm] auf der Menge Y = [mm] \mathbb{N} \cup \infty [/mm]   ?

Welches sind die offenen Mengen? Vielleicht komme ich ja auf diesem Weg dahinter, wie die Topologie [mm] \mathcal{S} [/mm]   zu verstehen ist?

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Induzierte Topologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:49 Di 10.07.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> vielen Dank, aber bei [mm]\mathcal{S}[/mm] soll es sich nicht um die
> kofinite Topologie handeln, die ist an anderer Stelle des
> Kurses definiert über:
>  
> [mm]\mathcal{T}[/mm] = [mm]\{ A \subset X \quad | \quad X \backslash A \quad \text{endlich} \}[/mm]
>  
> und auch als nicht metrisierbar bewiesen.
>  
> Anders herum gefragt: welche Topologie induziert denn die
> Metrik d(x,y) = [mm]\lvert \frac{1}{x}[/mm] - [mm]\frac{1}{y} \rvert[/mm] auf
> der Menge Y = [mm]\mathbb{N} \cup \infty[/mm]   ?
>  
> Welches sind die offenen Mengen? Vielleicht komme ich ja
> auf diesem Weg dahinter, wie die Topologie [mm]\mathcal{S}[/mm]   zu
> verstehen ist?
>  
> Viele Grüße


Hallo Stala,

Du hast in Deinem ersten Post geschrieben


$ [mm] \( \mathcal{S}= \{ A \subset Y \, | \, \infty \in A \rightarrow Y \backslash A \, \, \text{endlich} \} \) [/mm] $

Was bedeutet  [mm] \rightarrow [/mm] ?

Bezug
                                
Bezug
Induzierte Topologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 Di 10.07.2018
Autor: Stala

Das sollte ein Implikationspfeil sein: [mm] \Rightarrow [/mm]

also Wenn A, dann B : A [mm] \Rightarrow [/mm] B

so wird es im Kurs zumindest verwendet.

Bezug
                                        
Bezug
Induzierte Topologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Di 10.07.2018
Autor: fred97


> Das sollte ein Implikationspfeil sein: [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> also Wenn A, dann B : A [mm]\Rightarrow[/mm] B
>  
> so wird es im Kurs zumindest verwendet.


Wir haben also:


$ [mm] \( \mathcal{S}= \{ A \subset Y \, | \, \infty \in A \rightarrow Y \backslash A \, \, \text{endlich} \} \) [/mm] $.

Dann ist aber nur für Mengen $A [mm] \subset [/mm] Y$ mit $ [mm] \infty \in [/mm] A $ klar, ob sie zu [mm] \mathca{S} [/mm] gehören oder nicht. Ist $ Y [mm] \setminus [/mm] A$ endlich, so gehört A zu [mm] \mathcal{S}, [/mm] anderenfalls nicht.

Welche Teilmengen von [mm] \IN [/mm] gehören zu [mm] \mathcal{S} [/mm] ? Mir ist das jedenfalls nicht klar. Mit obiger Def. von [mm] \mathcal{S} [/mm] stimmt was nicht.


Bezug
                                                
Bezug
Induzierte Topologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:06 Di 10.07.2018
Autor: Stala

Eben dies ist für mich auch unklar.

Vielleicht finde ich an der Uni noch was raus, ansonsten bleibt der Beweis für mich unklar...

(Ziel war es zu zeigen, dass aus der Folgenbestimmtheit von (X, [mm] \mathcal{T}) [/mm] zu schlussfolgern, dass (X, [mm] \mathcal{T}) [/mm] Quotient eines metrisierbaren topologischen Raums ist.)

Bezug
                        
Bezug
Induzierte Topologie: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:20 Di 17.07.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]