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| Aufgabe | Aufgabe 1
Es seien f : X [mm] \toY [/mm] und g : Y [mm] \toX [/mm] zwei Abbildungen mit [mm] g\circ [/mm] f = idX.
(a) Ist die Abbildung f injektiv, surjektiv oder beides?
(b) Ist die Abbildung g injektiv, surjektiv oder beides?
(c) Wenn es eine weitere Abbildung h : Y [mm] \to [/mm] X gibt mit f [mm] \circ [/mm] h = idY , ist dann g = h =
[mm] f^{-1}?
[/mm]
Begründen Sie Ihre Antworten.
Aufgabe 2
Eine Matrix Q = (qij) 2 R3×3 heißt magisches Quadrat, falls alle Zeilen- und Spaltensummen,
sowie die Summen der beiden Diagonalen übereinstimmen.
(a) Zeigen Sie, dass die Menge M aller magischen Quadrate ein Unterraum von R3×3
bildet.
(b) Zeigen Sie, dass die Matrizen
X =
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1}
[/mm]
Y= [mm] \pmat{ 1 & -1 & \\ -11 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1}
[/mm]
Z = [mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0}
[/mm]
eine Basis von M bilden.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass ein magisches Quadrat Q bereits eindeutig durch
q1,1, q1,2, q2,2 bestimmt ist.
(c) Zeigen Sie, dass für alle a, b, c 2 R gilt: Genau dann sind die Einträge von Q =
aX+bY +cZ natürliche Zahlen (ohne die Null), wenn a [mm] \in [/mm] N, b, c [mm] \in [/mm] Z und |b|+|c| < a
gilt.
(d) Bestimmen Sie alle magischen Quadrate, in denen die Zahlen von 1 bis 9 jeweils
genau einmal auftreten. |
hallo
ich hänge bei der 1 c) fehlt mir so ein bisschen der ansatz wie ich das zeigen soll. Vielleicht [mm] g\circ f=f\circ [/mm] h?
und bei der 2 fehlt mir bei der Ansatz. Von welcher Menge soll ich da ausgehen? Muss ich eventuell vorher noch q11... definieren damit sie ein magisches Quadrat ergeben? würde mich über eine Antwort freuen danke
ICh habe diese Frage in keinem anderem Forum gepostet.
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> Aufgabe 1
> Es seien f : X [mm]\toY[/mm] und g : Y [mm]\toX[/mm] zwei Abbildungen mit
> [mm]g\circ[/mm] f = idX.
> (a) Ist die Abbildung f injektiv, surjektiv oder beides?
> (b) Ist die Abbildung g injektiv, surjektiv oder beides?
> (c) Wenn es eine weitere Abbildung h : Y [mm]\to[/mm] X gibt mit f
> [mm]\circ[/mm] h = idY , ist dann g = h =
> [mm]f^{-1}?[/mm]
> Begründen Sie Ihre Antworten.
> Aufgabe 2
> Eine Matrix Q = (qij) 2 R3×3 heißt magisches Quadrat,
> falls alle Zeilen- und Spaltensummen,
> sowie die Summen der beiden Diagonalen übereinstimmen.
> (a) Zeigen Sie, dass die Menge M aller magischen Quadrate
> ein Unterraum von R3×3
> bildet.
> (b) Zeigen Sie, dass die Matrizen
> X =
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1}[/mm]
>
> Y= [mm]\pmat{ 1 & -1 & \\ -11 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1}[/mm]
>
> Z = [mm]\pmat{ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0}[/mm]
>
> eine Basis von M bilden.
> Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass ein magisches Quadrat Q
> bereits eindeutig durch
> q1,1, q1,2, q2,2 bestimmt ist.
> (c) Zeigen Sie, dass für alle a, b, c 2 R gilt: Genau dann
> sind die Einträge von Q =
> aX+bY +cZ natürliche Zahlen (ohne die Null), wenn a [mm]\in[/mm] N,
> b, c [mm]\in[/mm] Z und |b|+|c| < a
> gilt.
> (d) Bestimmen Sie alle magischen Quadrate, in denen die
> Zahlen von 1 bis 9 jeweils
> genau einmal auftreten.
> hallo
> ich hänge bei der 1 c) fehlt mir so ein bisschen der
> ansatz wie ich das zeigen soll. Vielleicht [mm]g\circ f=f\circ[/mm]
> h?
Hallo,
leider fehlen hier jegliche eigene Lösungsansätze.
Wenn ich Dir helfen wollte, würde mich z.B. brennend interessieren, wie Du a) und b) gelöst hast, und was Du Dir zu c) gedacht hast.
>
> und bei der 2 fehlt mir bei der Ansatz. Von welcher Menge
> soll ich da ausgehen? Muss ich eventuell vorher noch q11...
> definieren damit sie ein magisches Quadrat ergeben? würde
> mich über eine Antwort freuen danke
Dort mußt Du zeigen, daß die magischen Quadrate einen Unterraum des Matrizenraumes bilden, also die Unterrraumkriterien nachweisen. (Das sind?)
Vielleicht (?) ist es für Dich hilfreich, wenn Du Dir erstmal die Bedingungen, die ein magischen Quadrat erfüllen muß aufschreibst für eine Matrix Q mit den Einträgen [mm] q_i_j.
[/mm]
Gruß v. Angela
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hat sich doch schon erledigt mit der aufgabe..trotzdem danke für dein angebot
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