Injektive stetige Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien a,b [mm] \in \IR, [/mm] a<b, und f:[a,b] [mm] \to\IR [/mm] eine stetige Funktion. Beweisen Sie: Wenn f injektiv ist, dass ist f entweder streng monton wachsend oder streng monton fallend. |
Hey ihr alle,
ich finde das vom logischen her total klar warum diese implikation gelten muss, umgekehrt gilt sie ja auch, aber ich weiß nich wie ich das beweisen kann...
also ich kenn die definition von injektivität [mm] (f(x)=f(y)\Rightarrow [/mm] x=y), von stetigkeit [mm] (\forall \varepsilon>0 \exists\delta>0:|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0}|<\varepsilon [/mm] ) und natürlich die von monoton steigend und monton fallend.
ich weiß das ich folgendes zeigen muss: (f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y) [mm] \Rightarrow [/mm] (x<y [mm] \Rightarrow [/mm] (f(x)>f(y) [mm] \vee [/mm] f(x)>f(y)))
aber wie mach ich das???
ich hab echt keinen ansatz.
wäre total super wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
ganz liebe grüße
MatheMäxchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Do 07.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Ich würde einen Widerspruchsbeweis versuchen. Angenommen, $f$ ist stetig und injektiv, aber nicht streng monoton. Was folgt dann daraus?
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hey,
danke erstmal für die schnelle antwort.
nur bringt sie mich leider nicht wirklich weiter, denn ich hab ja "vorne" also das was gegeben ist, das selbe, muss nur auf etwas anderes kommen. mein problem ist ja das ganze irgendwie anders zu schreiben das ich es umformen kann und im enteffekt auf monotonie oder halt nicht (widerspruchsbeweis) komme.
viele liebe grüße
Mathemäxchen
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> hey,
> danke erstmal für die schnelle antwort.
> nur bringt sie mich leider nicht wirklich weiter, denn ich
> hab ja "vorne" also das was gegeben ist, das selbe, muss
> nur auf etwas anderes kommen. mein problem ist ja das ganze
> irgendwie anders zu schreiben das ich es umformen kann und
> im enteffekt auf monotonie oder halt nicht
> (widerspruchsbeweis) komme.
Hallo,
eine echte Meisterleistung der Formulierungskunst...
Ich weiß aus dieser Story jetzt nicht, was Du getan hast und wo Dein Problem lag.
Nun denn:
zu zeigen:
[mm] f:[a,b]\to \IR [/mm] injektiv und stetig ==> f ist streng monoton.
Beweis durch Widerspruch:
Da f injektiv ist, ist [mm] f(a)\not=f(b).
[/mm]
Sei oBdA f(a)<f(b).
Angenommen, f wäre nicht monoton.
Dann gibt es ein [mm] x_0\in [/mm] [a,b] mit ... usw.
Versuch jetzt mal.
Gruß v. Angela
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