Integr.grenzen best. 3 Integr. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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huhu zusammen,
ich hab unglaubliche Schwierigkeiten Integralgrenzen zu bestimmen. Das Integral an sich ist i.d.R. eifnach zu berechnen. Daher möchte ich hier ein paar Aufgaben reinstellen, wo mich nur die Integralgrenzen interessieren.
Falls jemand eine Seite kennt, wo ich sowas zeichnen lassen kann, wäre das auch klasse.^^
1)
3 Integrale, Bereich : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 +z^2 \le [/mm] 1, z [mm] \ge [/mm] 0
ich find die Angaben reichen nicht :/ also ich bestimme:
0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le \wurzel{1-x^2-y^2} [/mm] als Intervallgrenzen von z
dann folgt daraus, dass
0 [mm] \le \wurzel{1-x^2-y^2}
[/mm]
dann ist
y [mm] \le \wurzel{1-x^2} [/mm] als obere grenze von y. Jetzt fehlt mir noch die untere grenze von y, sowie die Grenzen von x. Hat jemand nen Tipp?
2)
.. das Integral [mm] \integral_{D} [/mm] (x^3y + cos x) dx dy (auffälig hier, es fehlt das dz!) wobei D durch das Dreieck mit den Ecken (0,0) [mm] (\bruch{\pi}{2},0) [/mm] ( [mm] \bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) [/mm] gegeben ist. Ich denke es ist:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} [/mm] dx dy einfach oder? es ist ja 0 [mm] \le [/mm] x,y [mm] \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
3)
berechne ..., wobei der begrenzte Bereich gegeben ist durch die Ebenen
z=0 , z= [mm] \pi [/mm] , y= 0, x= 0 und x+y =1
dann ist 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le \pi
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1-x
und
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
4) und last but not least:
Begrenzte Bereich durch: x= 0 , z=0, z=2 und [mm] z=x^2 +y^2, [/mm] x,y [mm] \ge [/mm] 0
daraus lese ich 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \wurzel{z-y^2}
[/mm]
2 [mm] \le [/mm] z [mm] \le x^2 +y^2
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{z}
[/mm]
Ich hoffe die meisten Integralgrenzen stimmen so.
Lg,
Eve
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Hallo EvelynSnowley2311,
> huhu zusammen,
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> ich hab unglaubliche Schwierigkeiten Integralgrenzen zu
> bestimmen. Das Integral an sich ist i.d.R. eifnach zu
> berechnen. Daher möchte ich hier ein paar Aufgaben
> reinstellen, wo mich nur die Integralgrenzen
> interessieren.
> Falls jemand eine Seite kennt, wo ich sowas zeichnen
> lassen kann, wäre das auch klasse.^^
>
>
> 1)
>
> 3 Integrale, Bereich : [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 +z^2 \le[/mm] 1, z [mm]\ge[/mm] 0
>
> ich find die Angaben reichen nicht :/ also ich bestimme:
> 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le \wurzel{1-x^2-y^2}[/mm] als Intervallgrenzen von
> z
> dann folgt daraus, dass
> 0 [mm]\le \wurzel{1-x^2-y^2}[/mm]
> dann ist
> y [mm]\le \wurzel{1-x^2}[/mm] als obere grenze von y. Jetzt fehlt
> mir noch die untere grenze von y, sowie die Grenzen von x.
> Hat jemand nen Tipp?
>
Nun, da y auch kleiner gleich 0 sein kann,
ist die Untergrenze von y: [mm]-\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
Für den x-Bereich ergeben sich die Grenzen aus dem Wurzelausdruck.
Damit die Wurzel definiert ist, muss [mm]1-x^{2} \ge 0[/mm] sein.
>
> 2)
>
> .. das Integral [mm]\integral_{D}[/mm] (x^3y + cos x) dx dy
> (auffälig hier, es fehlt das dz!) wobei D durch das
Dann geht die Integration nur über zwei Variablen.
> Dreieck mit den Ecken (0,0) [mm](\bruch{\pi}{2},0)[/mm] (
> [mm]\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})[/mm] gegeben ist. Ich denke es
> ist:
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}[/mm]
> dx dy einfach oder? es ist ja 0 [mm]\le[/mm] x,y [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
Mach Dir hierzu eine Skizze des Integrationsbereiches.
>
>
> 3)
>
> berechne ..., wobei der begrenzte Bereich gegeben ist durch
> die Ebenen
> z=0 , z= [mm]\pi[/mm] , y= 0, x= 0 und x+y =1
>
> dann ist 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le \pi[/mm]
> 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1-x
> und
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> 4) und last but not least:
>
> Begrenzte Bereich durch: x= 0 , z=0, z=2 und [mm]z=x^2 +y^2,[/mm]
> x,y [mm]\ge[/mm] 0
>
> daraus lese ich 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \wurzel{z-y^2}[/mm]
> 2 [mm]\le[/mm] z [mm]\le x^2 +y^2[/mm]
>
> 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le \wurzel{z}[/mm]
>
Das ist auch richtig.
> Ich hoffe die meisten Integralgrenzen stimmen so.
>
> Lg,
> Eve
Gruss
MathePower
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dankeschön ;)
zur b) hab ich mir ne Skizze gemacht. Ich müsste doch nur den Definitionsbereich nehmen und 1/2 davor schreiben, damit ich aus dem Viereck die Hälfte kriege , nämlich das Dreieck oder?
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Hallo EvelynSnowley2311,
> dankeschön ;)
>
> zur b) hab ich mir ne Skizze gemacht. Ich müsste doch nur
> den Definitionsbereich nehmen und 1/2 davor schreiben,
> damit ich aus dem Viereck die Hälfte kriege , nämlich das
> Dreieck oder?
Ich weis nicht, wie Du das meinst.
Diese Definitionsbereiche haben eine unterschiedliche Parametrisierung.
Grus
MathePower
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huhu,
naja wenn ich es zeichne, habe ich ja ein Dreieck. Das Dreieck verdoppelt ist ein Viereck, also wenn ich das Dreieck klappe. Dann habe ich eben den Definitionsbereich [0, pi/2] x [0, pi/2]
Dann kann ich doch einfach hingehen, dieses Vierck nehmen und dann die Hälft, sodass ich mein Dreieck habe oder?^^
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Hallo EvelynSnowley2311,
> huhu,
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> naja wenn ich es zeichne, habe ich ja ein Dreieck. Das
> Dreieck verdoppelt ist ein Viereck, also wenn ich das
> Dreieck klappe. Dann habe ich eben den Definitionsbereich
> [0, pi/2] x [0, pi/2]
>
> Dann kann ich doch einfach hingehen, dieses Vierck nehmen
> und dann die Hälft, sodass ich mein Dreieck habe oder?^^
Nein, das kannst Du nicht.
Gruss
MathePower
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hmm... schade! ;P
Aber trotzdem... wenn man sich das Dreieck betrachtet, geht ja eine Seite Senkrecht von der x-Achse nach oben von 0 bist pi/2, parallel zur y- Achse.
Genauso verläuft eine Seite auf der x - Achse von 0 bis pi/2 ich könnte jetzt noch die Hypotenuse berechnen mit Pythagoras, die wäre
[mm] \wurzel{2} \* [/mm] pi/2. Brauch ich die etwa?
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Hallo EvelynSnowley2311,
> hmm... schade! ;P
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> Aber trotzdem... wenn man sich das Dreieck betrachtet, geht
> ja eine Seite Senkrecht von der x-Achse nach oben von 0
> bist pi/2, parallel zur y- Achse.
> Genauso verläuft eine Seite auf der x - Achse von 0 bis
> pi/2 ich könnte jetzt noch die Hypotenuse berechnen mit
> Pythagoras, die wäre
> [mm]\wurzel{2} \*[/mm] pi/2. Brauch ich die etwa?
Nein, die brauchst Du nicht.
Gruss
MathePower
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hey,
puh.. Okay, wie wärs mir folgenden Ansatz:
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y
und
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] pi/2 ??
weil y ja im grunde genau bis pi/2 läuft, nur dass ich es hier als Variable lasse.
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Hallo EvelynSnowley2311,
> hey,
>
> puh.. Okay, wie wärs mir folgenden Ansatz:
>
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] y
> und
> 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] pi/2 ??
>
Das ist gerade das Dreieck mit dern Eckpunkten [mm](0,0),\ \left(0,\bruch{\pi}{2}\right), \ \left(\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
Wenn Du x mit y vertauscht, dann stimmt der Ansatz:
[mm]0 \le y \le x, \ 0 \le x \le \bruch{\pi}{2} [/mm]
> weil y ja im grunde genau bis pi/2 läuft, nur dass ich es
> hier als Variable lasse.
Gruss
MathePower
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ohh super ich danke dir vielmals Mathepower!
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