matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisIntegral
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Analysis" - Integral
Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Mo 10.05.2004
Autor: puq

Hallo,

weiß jemand, warum für [mm] s \in \IC [/mm] mit [mm] Re(s) \ > \ 1 [/mm]

[mm]\integral_{1}^{\infty} 1/x^s \, dx \ = \ 1/(s-1)[/mm]

gilt?

Würde mich sehr über eine Antwort freuen.

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:50 Di 11.05.2004
Autor: Paulus

Hallo pug

ich glaube es zu wissen!

Die Antwort scheint durch direktes Ausrechnen zu entstehen:

[mm]\int_{1}^{\infty}x^{-s} \, dx = \lim_{A \to \infty} \int_{1}^{A}x^{-s} \, dx[/mm]

[mm]\int{x^{-s}} \, dx = \bruch{1}{1-s}*x^{1-s} = \bruch{1}{1-s}*\bruch {x}{x^s}[/mm]

Für  [mm]x=1[/mm] gilt:
[mm]\bruch {x}{x^s} = \bruch {1}{1^s} = 1[/mm]

Und für [mm]x = A[/mm] gilt:

[mm]\bruch {x}{x^s} = \bruch {A}{A^s} = \bruch {1}{A^{s-1}} = \bruch {1}{A^{Re(s)-1 + i*Im(s)}} = \bruch {1}{A^{Re(s)-1}*A^{i*Im(s)}}[/mm]

Hier strebt im rechten Bruch [mm]A^{Re(s)-1}[/mm] gegen [mm] \infty [/mm] , also der ganze Ausdruck gegen [mm]0[/mm]. (Für [mm]A \to \infty[/mm])

Somit ergibt sich für das bestimmte Integral: [mm]\bruch{1}{1-s}*(0 - 1) = \bruch{1}{s-1}[/mm]

Mit lieben Grüssen


Bezug
                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 Di 11.05.2004
Autor: puq

Hallo Paulus,

vielen Dank. Irgendwie dachte ich, man könnte nicht "einfach so" integrieren mit imaginärem s, aber man kann ja durch Ableiten sehen, dass es so geht.

Also danke schön.

Bezug
                        
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:16 Di 11.05.2004
Autor: Paulus

Hallo pug

> Hallo Paulus,
>  
> vielen Dank. Irgendwie dachte ich, man könnte nicht
> "einfach so" integrieren mit imaginärem s, aber man kann ja
> durch Ableiten sehen, dass es so geht.
>  
> Also danke schön.
>  

Bitte!

Ja, du hast schon recht: im Komplexen sind die Integralwerte längs einer Kurve manchmal vom Weg abhängig! Deshalb ist schon Vorsicht geboten! Man kann dann nicht mehr einfach Stammfunktion(Endpunkt) minus Stammfunktion(Anfangspunkt) rechnen. Das lernt ihr ja sicher schon noch!

Man kann aber schon formal eine Stammfunktion definieren, indem man einfach fordert, dass die 1. Ableitung wieder zur Funktion führen muss.

(Ich weiss, ist etwas salopp formuliert, aber trotzdem...)

Liebe Grüsse


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]