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Hallo,
wie kommt man von der einen Form in die andere? Nach welcher Regel wird das so gemacht?
[mm] u_a(t)=1/C*\integral_{0}^{t}{i(t) dt} [/mm] => [mm] du_a/dt=1/C*i(t)
[/mm]
lg
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> Hallo,
> wie kommt man von der einen Form in die andere? Nach
> welcher Regel wird das so gemacht?
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> [mm]u_a(t)=1/C*\integral_{0}^{t}{i(t) dt}[/mm] => [mm]du_a/dt=1/C*i(t)[/mm]
>
> lg
Dahinter steckt der Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung:
Die Ableitung des bestimmten Integrals
[mm] $\integral_{a}^{x} [/mm] f(t)\ dt$
nach der Obergrenze x ergibt den Integranden an
der Stelle x, also:
[mm] $\frac{d}{dx}\integral_{a}^{x} [/mm] f(t)\ dt\ =\ f(x)$
siehe z.B. da:  Hauptsatz oder da: ![[]](/images/popup.gif) Fundamentalsatz der Analysis
LG Al-Chw.
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Ich verstehe das dennoch nicht.
Wenn man das mit mit d/dx mutlipliziert geht dann das Integral weg oder wie?
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> Ich verstehe das dennoch nicht.
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> Wenn man das mit mit d/dx mutlipliziert geht dann das
> Integral weg oder wie?
Hallo blumich86,
es wird hier gar nicht "mit [mm] \frac{d}{dx} [/mm] multipliziert" , sondern dies
ist der Ableitungsoperator, der sagt, dass man das Integral
nach x ableiten soll. Man könnte anstatt
$ [mm] \frac{d}{dx}\integral_{a}^{x} [/mm] f(t)\ dt\ =\ f(x) $
auch schreiben:
$ [mm] \left(\integral_{a}^{x} f(t)\ dt\right)'\ [/mm] =\ f(x) $
Dabei steht das Strichlein rechts oberhalb der Klammer,
dass deren Inhalt nach x abgeleitet werden soll.
LG Al-Chw.
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sorry, aber ich verstehe den sinn dahinter nicht?????
Also ich [mm] 1/C*\integral_{0}^{t} {i(\tau) d\tau} [/mm] nach x ableiten (obwohl da ein Integral steht) und dann bekomme ich [mm] du_a/dt [/mm] raus, oder wie!!??
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> sorry, aber ich verstehe den sinn dahinter nicht?????
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> Also ich [mm]1/C*\integral_{0}^{t} {i(\tau) d\tau}[/mm] nach x
> ableiten (obwohl da ein Integral steht) und dann bekomme
> ich [mm]du_a/dt[/mm] raus, oder wie!!??
Deine ursprüngliche Frage bezog sich auf die Aussage:
$\ [mm] u_a(t)=1/C\cdot{}\integral_{0}^{t}{i(t) dt}\qquad\Rightarrow\qquad du_a/dt=1/C\cdot{}i(t) [/mm] $
Weil hier t einerseits als Integrationsvariable im Integral
und zweitens als Obergrenze des Integrals (und Variable
der Funktion [mm] u_a [/mm] ) verwendet wird, ist es sinnvoll, die eine
der Variablen "umzutaufen". Lassen wir t als Integrations-
variable (als "lokale" Variable für die Integration) stehen
und benennen die Obergrenze des Integrals mit x. Dann
haben wir:
$\ [mm] u_a(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{C}*\integral_{0}^{x}{i(t) dt}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{d\,u_a}{dx}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{C}*i(x) [/mm] $
Nun ist [mm] \frac{d\,u_a}{dx} [/mm] nichts anderes als die Ableitung der Funktion [mm] u_a(x) [/mm] :
$\ [mm] u_a(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{C}*\integral_{0}^{x}{i(t) dt}\qquad\Rightarrow\qquad u_a'(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{C}*i(x) [/mm] $
Abgesehen vom beiderseitigen konstanten Faktor [mm] \frac{1}{C}
[/mm]
ist dies nun wirklich nichts anderes als die saloppe
Aussage, dass sich Integrieren und nachfolgendes
Ableiten "gegenseitig aufheben".
LG Al-Chw.
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