Integral berechnen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | | Berechnen sie die Ableitung der Funktion f: x [mm] \mapsto \integral_{1}^{x}{\bruch{x}{1+t^{2}}dt} [/mm] |
Ich würde gerne wissen ob mein Ergebniss korrekt ist. Ich habe als Ergebniss:
[mm] \bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
Ich habe als erstes die Stammfunktion gebildet, die Grenzen eingesetzt und dann abgeleitet. Sollte das Ergebniss falsch sein wäre ich dankbar über einen Tip wie ich die Aufgabe lösen köännte. Danke im voraus.
Fuffi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keinen anderen Internetseiten gestellt.
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Das Ergebnis stimmt nicht. Du kannst das [mm]x[/mm] vor das Integral ziehen (die Integration geht ja über [mm]t[/mm]). Du hast dann die Darstellung
[mm]f(x) = u(x) \cdot v(x) \ \ \text{mit} \ \ u(x) = x \, , \, v(x) = \int_1^x~\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}[/mm]
Das heißt: Produktregel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Fuffi |
Danke für die schnelle Antwort. Das heißt ja ich habe
[mm] f(x)=x*\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{1+t^{2}}dt}
[/mm]
und
[mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{1+t^{2}}dt} [/mm] = arcsin(x)-arcsin(1)
also
f(x)=x(arcsin(x)-arcsin(1)) und muss das jetzt nur noch ableiten
Oder habe ich mich irgendwo verrechnet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Sa 20.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Danke für die schnelle Antwort. Das heißt ja ich habe
>
> [mm]f(x)=x*\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{1+t^{2}}dt}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{1+t^{2}}dt}[/mm] =
> arcsin(x)-arcsin(1)
Das ist nicht richtig
[mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{1+t^{2}}dt}=arctan(x)-arctan(1)
[/mm]
[mm] \br{d}{dx}f(x)=\br{d}{dx}x*\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{1+t^{2}}dt}+x*\br{d}{dx}\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{1+t^{2}}dt} [/mm] also
[mm] \br{d}{dx}f(x)=arctan(x)-arctan(1)+\bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] wegen [mm] arctan(1)=\br{\pi}{4} [/mm] gilt
[mm] \br{d}{dx}f(x)=arctan(x)-\br{\pi}{4}+\bruch{x}{1+x^{2}} [/mm]
> also
>
> f(x)=x(arcsin(x)-arcsin(1)) und muss das jetzt nur noch
> ableiten
>
> Oder habe ich mich irgendwo verrechnet?
S. oben
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Fuffi |
Alles klar danke. Das mit dem acrsin und arctan ist mit gerade auch aufgefallen das ich da was vertauscht habe. Aber du warst schneller als ich
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