Integral berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Integral:
[mm] \integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz}. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich komme gerade mit der oben genannten Aufgabe gar nicht klar. Ich habe irgendwie ein riesen Brett vor dem Kopf und gar keine Idee, wie ich vorgehen soll...
In meinem Skript bin ich auf die allgemeine Cauchysche Integralformel gestoßen, kann damit aber irgendwie überhaupt nichts anfangen...
Ich wäre euch dankbar für Tipps und Hinweise. Ein ähnliches Beispiel wäre sicherlich auch nicht schlecht... Gerne kann ich auch versuchen die Aufgabe mit etwas Hilfe hier im Forum zu lösen...
LG
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Hallo Pia90,
> Berechnen Sie das folgende Integral:
> [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz}.[/mm]
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> Hallo zusammen,
>
> ich komme gerade mit der oben genannten Aufgabe gar nicht
> klar. Ich habe irgendwie ein riesen Brett vor dem Kopf und
> gar keine Idee, wie ich vorgehen soll...
> In meinem Skript bin ich auf die allgemeine Cauchysche
> Integralformel gestoßen, kann damit aber irgendwie
> überhaupt nichts anfangen...
>
> Ich wäre euch dankbar für Tipps und Hinweise. Ein
> ähnliches Beispiel wäre sicherlich auch nicht schlecht...
> Gerne kann ich auch versuchen die Aufgabe mit etwas Hilfe
> hier im Forum zu lösen...
>
Zerlege
[mm]\bruch{1}{z^{2}*\left(z-\pi)}[/mm]
in Partialbrüche.
> LG
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank für den Hinweis! Ich werde versuchen damit morgen weiterzukommen!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
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> > Berechnen Sie das folgende Integral:
> > [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz}.[/mm]
>
> Zerlege
>
> [mm]\bruch{1}{z^{2}*\left(z-\pi)}[/mm]
>
> in Partialbrüche.
>
Auch auf die Gefahr hin, dass ich mich jetzt total blamiere, ich hänge bereits wieder...
Und zwar habe ich nun wie folgt angesetzt:
[mm] \bruch{A}{z^2}+\bruch{B}{z-\pi} [/mm] = [mm] \bruch{A(z-\pi)+Bz^2}{z^2(z-\pi)} [/mm] = [mm] \bruch{Az-A\pi+Bz^2}{z^2(z-\pi)}
[/mm]
Normalerweise hätte ich jetzt die Koeffizienten verglichen, aber das ist ja hier irgendwie nicht möglich, oder überseh ich irgendwas Wichtiges?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Helbig |
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> > > Berechnen Sie das folgende Integral:
> > > [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz}.[/mm]
>
> >
>
> > Zerlege
> >
> > [mm]\bruch{1}{z^{2}*\left(z-\pi)}[/mm]
> >
> > in Partialbrüche.
> >
>
> Auch auf die Gefahr hin, dass ich mich jetzt total
> blamiere, ich hänge bereits wieder...
>
> Und zwar habe ich nun wie folgt angesetzt:
> [mm]\bruch{A}{z^2}+\bruch{B}{z-\pi}[/mm] =
> [mm]\bruch{A(z-\pi)+Bz^2}{z^2(z-\pi)}[/mm] =
> [mm]\bruch{Az-A\pi+Bz^2}{z^2(z-\pi)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Normalerweise hätte ich jetzt die Koeffizienten
> verglichen, aber das ist ja hier irgendwie nicht möglich,
> oder überseh ich irgendwas Wichtiges?
Hallo Pia90,
Der Ansatz sieht so aus:
$\frac A {z^2} + \frac B z + \frac C {z-\pi} = \frac 1 {z^2*(z-\pi)$
Gruß,
Wolfgang
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 29.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
> >
> > >
> > > > Berechnen Sie das folgende Integral:
> > > > [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz}.[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > > Zerlege
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{z^{2}*\left(z-\pi)}[/mm]
> > >
> > > in Partialbrüche.
> > >
>
> Der Ansatz sieht so aus:
>
> [mm]\frac A {z^2} + \frac B z + \frac C {z-\pi} = \frac 1 {z^2*(z-\pi)[/mm]
>
>
Vielen Dank erstmal!
Also ein neuer Versuch:
[mm] \frac [/mm] 1 [mm] {z^2*(z-\pi)}= \frac [/mm] A [mm] {z^2} [/mm] + [mm] \frac [/mm] B z + [mm] \frac [/mm] C [mm] {z-\pi} [/mm] = [mm] \bruch{A*z*(z-\pi)+B*z^2*(z-\pi)+C*z^3}{z^2*z*(z-\pi)}= [/mm] ... =
[mm] \bruch{(B+C)*z^2+(A-B \pi )z - A \pi}{z^2*(z - \pi)}
[/mm]
Nun weiß ich:
B+C =0 [mm] \Rightarrow [/mm] C = [mm] \bruch{1}{\pi^2}
[/mm]
-A [mm] \pi [/mm] =1 [mm] \Rightarrow [/mm] A = [mm] \bruch{-1}{\pi}
[/mm]
A -B [mm] \pi [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow B=\bruch{-1}{\pi^2}
[/mm]
Also hätte ich doch nun im Grunde
[mm] \integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz} =\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z} dz} [/mm] + [mm] \bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{(z-\pi)} dz}
[/mm]
Oder?
Aber wie könnte ich nun fortfahren?!
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Hallo Pia90,
> > >
> > > >
> > > > > Berechnen Sie das folgende Integral:
> > > > > [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > >
> > > > Zerlege
> > > >
> > > > [mm]\bruch{1}{z^{2}*\left(z-\pi)}[/mm]
> > > >
> > > > in Partialbrüche.
> > > >
> >
> > Der Ansatz sieht so aus:
> >
> > [mm]\frac A {z^2} + \frac B z + \frac C {z-\pi} = \frac 1 {z^2*(z-\pi)[/mm]
>
> >
> >
>
> Vielen Dank erstmal!
>
> Also ein neuer Versuch:
> [mm]\frac[/mm] 1 [mm]{z^2*(z-\pi)}= \frac[/mm] A [mm]{z^2}[/mm] + [mm]\frac[/mm] B z + [mm]\frac[/mm] C
> [mm]{z-\pi}[/mm] =
> [mm]\bruch{A*z*(z-\pi)+B*z^2*(z-\pi)+C*z^3}{z^2*z*(z-\pi)}=[/mm] ...
> =
> [mm]\bruch{(B+C)*z^2+(A-B \pi )z - A \pi}{z^2*(z - \pi)}[/mm]
>
> Nun weiß ich:
> B+C =0 [mm]\Rightarrow[/mm] C = [mm]\bruch{1}{\pi^2}[/mm]
> -A [mm]\pi[/mm] =1 [mm]\Rightarrow[/mm] A = [mm]\bruch{-1}{\pi}[/mm]
> A -B [mm]\pi[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow B=\bruch{-1}{\pi^2}[/mm]
>
> Also hätte ich doch nun im Grunde
> [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz} =\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z} dz}[/mm]
> + [mm]\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{(z-\pi)} dz}[/mm]
>
Das muss doch hier lauten:
[mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz} =\blue{-\bruch{1}{\pi}}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z} dz}+\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{(z-\pi)} dz}[/mm]
> Oder?
>
> Aber wie könnte ich nun fortfahren?!
>
Wende jetzt die allgemeine Cauchysche Integralformel an.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Do 29.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
> > > > > > Berechnen Sie das folgende Integral:
> > > > > > [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz}.[/mm]
>
> >
> > >
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> > > >
> > > > > Zerlege
> > > > >
> > > > > [mm]\bruch{1}{z^{2}*\left(z-\pi)}[/mm]
> > > > >
> > > > > in Partialbrüche.
> > > > >
> > >
> > > Der Ansatz sieht so aus:
> > >
> > > [mm]\frac A {z^2} + \frac B z + \frac C {z-\pi} = \frac 1 {z^2*(z-\pi)[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> >
> > Vielen Dank erstmal!
> >
> > Also ein neuer Versuch:
> > [mm]\frac[/mm] 1 [mm]{z^2*(z-\pi)}= \frac[/mm] A [mm]{z^2}[/mm] + [mm]\frac[/mm] B z +
> [mm]\frac[/mm] C
> > [mm]{z-\pi}[/mm] =
> > [mm]\bruch{A*z*(z-\pi)+B*z^2*(z-\pi)+C*z^3}{z^2*z*(z-\pi)}=[/mm] ...
> > =
> > [mm]\bruch{(B+C)*z^2+(A-B \pi )z - A \pi}{z^2*(z - \pi)}[/mm]
> >
> > Nun weiß ich:
> > B+C =0 [mm]\Rightarrow[/mm] C = [mm]\bruch{1}{\pi^2}[/mm]
> > -A [mm]\pi[/mm] =1 [mm]\Rightarrow[/mm] A = [mm]\bruch{-1}{\pi}[/mm]
> > A -B [mm]\pi[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow B=\bruch{-1}{\pi^2}[/mm]
> >
> > Also hätte ich doch nun im Grunde
> > [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz} =\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z} dz}[/mm]
> > + [mm]\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{(z-\pi)} dz}[/mm]
>
> >
>
>
> Das muss doch hier lauten:
>
> [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz} =\blue{-\bruch{1}{\pi}}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z} dz}+\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{(z-\pi)} dz}[/mm]
Danke für die Korrektur! Ich habe gerade gesehen, dass noch zwei weitere kleine Fehler drin steckten.
Richtig müsste es denke ich wie folgt lauten:
[mm] \integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz} =\bruch{-2}{\pi}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{z} dz}[/mm] [/mm] + [mm]\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\pi)} dz}[/mm]
Ich hoffe, dass das nun so korrekt ist und sich nicht noch weitere Fehler eingeschlichen haben...
>
>
> > Oder?
> >
> > Aber wie könnte ich nun fortfahren?!
> >
>
>
> Wende jetzt die allgemeine Cauchysche Integralformel an.
>
Ich muss gestehen, dass ich durch die Formel noch nicht hundertprozentig durchsteige...
Der Allgemeine Cauchysche Integralsatz sagt mir ja folgendes:
Sei U [mm] \subset \IC [/mm] offen und f: U [mm] \to \IC [/mm] holomorph. Dann gilt für jeden nullhomologen Zyklus [mm] \Gamma [/mm] in U:
(i) [mm] \integral_{\Gamma}^{}{f(z)dz} [/mm] = 0.
(ii) Für n [mm] \in \IN_{0} [/mm] und z [mm] \in [/mm] U [mm] \backslash Sp(\Gamma) [/mm] gilt
[mm] n_{\Gamma}(z)*f^{(n)}(z) [/mm] = [mm] \bruch{n!}{2*\pi*i}*\integral_{\Gamma}^{}{\bruch{f(\zeta}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta}
[/mm]
Also ich könnte ja versuchen das ganze erstmal so umzuschreiben, dass es dem Satz ähnlich sieht, aber ich bekomms irgendwie nicht hin...
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Hallo Pia90,
> > > > > > > Berechnen Sie das folgende Integral:
> > > > > > > [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > > > > Zerlege
> > > > > >
> > > > > > [mm]\bruch{1}{z^{2}*\left(z-\pi)}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > in Partialbrüche.
> > > > > >
> > > >
> > > > Der Ansatz sieht so aus:
> > > >
> > > > [mm]\frac A {z^2} + \frac B z + \frac C {z-\pi} = \frac 1 {z^2*(z-\pi)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > >
> > > Vielen Dank erstmal!
> > >
> > > Also ein neuer Versuch:
> > > [mm]\frac[/mm] 1 [mm]{z^2*(z-\pi)}= \frac[/mm] A [mm]{z^2}[/mm] + [mm]\frac[/mm] B z +
> > [mm]\frac[/mm] C
> > > [mm]{z-\pi}[/mm] =
> > > [mm]\bruch{A*z*(z-\pi)+B*z^2*(z-\pi)+C*z^3}{z^2*z*(z-\pi)}=[/mm] ...
> > > =
> > > [mm]\bruch{(B+C)*z^2+(A-B \pi )z - A \pi}{z^2*(z - \pi)}[/mm]
> >
> >
> > > Nun weiß ich:
> > > B+C =0 [mm]\Rightarrow[/mm] C = [mm]\bruch{1}{\pi^2}[/mm]
> > > -A [mm]\pi[/mm] =1 [mm]\Rightarrow[/mm] A = [mm]\bruch{-1}{\pi}[/mm]
> > > A -B [mm]\pi[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow B=\bruch{-1}{\pi^2}[/mm]
> > >
> > > Also hätte ich doch nun im Grunde
> > > [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz} =\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z} dz}[/mm]
> > > + [mm]\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{(z-\pi)} dz}[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Das muss doch hier lauten:
> >
> > [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz} =\blue{-\bruch{1}{\pi}}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z} dz}+\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{(z-\pi)} dz}[/mm]
>
> Danke für die Korrektur! Ich habe gerade gesehen, dass
> noch zwei weitere kleine Fehler drin steckten.
> Richtig müsste es denke ich wie folgt lauten:
> [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz} =\bruch{-2}{\pi}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{z} dz}[/mm][/mm]
> + [mm]\bruch{2}{\pi^2}*\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\pi)} dz}[/mm]
>
> Ich hoffe, dass das nun so korrekt ist und sich nicht noch
> weitere Fehler eingeschlichen haben...
>
Das ist jetzt korrekt.
> >
> >
> > > Oder?
> > >
> > > Aber wie könnte ich nun fortfahren?!
> > >
> >
> >
> > Wende jetzt die allgemeine Cauchysche Integralformel an.
> >
>
> Ich muss gestehen, dass ich durch die Formel noch nicht
> hundertprozentig durchsteige...
> Der Allgemeine Cauchysche Integralsatz sagt mir ja
> folgendes:
> Sei U [mm]\subset \IC[/mm] offen und f: U [mm]\to \IC[/mm] holomorph. Dann
> gilt für jeden nullhomologen Zyklus [mm]\Gamma[/mm] in U:
> (i) [mm]\integral_{\Gamma}^{}{f(z)dz}[/mm] = 0.
> (ii) Für n [mm]\in \IN_{0}[/mm] und z [mm]\in[/mm] U [mm]\backslash Sp(\Gamma)[/mm]
> gilt
> [mm]n_{\Gamma}(z)*f^{(n)}(z)[/mm] =
> [mm]\bruch{n!}{2*\pi*i}*\integral_{\Gamma}^{}{\bruch{f(\zeta}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta}[/mm]
>
> Also ich könnte ja versuchen das ganze erstmal so
> umzuschreiben, dass es dem Satz ähnlich sieht, aber ich
> bekomms irgendwie nicht hin...
>
Poste doch Deine bisherigen Versuche.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Do 29.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Also ich hätte jetzt zunächst mal versucht, dass ich vor dem Integral den Bruch [mm] \bruch{n!}{2\pi i} [/mm] stehen habe...
Aber wie bekomme ich ein i in den Nenner bzw. beim [mm] \pi [/mm] das Quadrat weg? Bereits an dieser Stelle scheiter ich...
[mm] \integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2\cdot{}(z-\pi)} dz} =\bruch{-2}{\pi}\cdot{}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2}{\pi^2}\cdot{}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{z} dz}
[/mm]
> + [mm] \bruch{2}{\pi^2}\cdot{}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\pi)} dz} [/mm] =
[mm] \bruch{-2*2}{2*\pi}\cdot{}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2*2}{2*\pi^2}\cdot{}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{z} dz}
[/mm]
> + [mm] \bruch{2*2}{2*\pi^2}\cdot{}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\pi)} dz} [/mm]
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Hallo Pia90,
> Also ich hätte jetzt zunächst mal versucht, dass ich vor
> dem Integral den Bruch [mm]\bruch{n!}{2\pi i}[/mm] stehen habe...
> Aber wie bekomme ich ein i in den Nenner bzw. beim [mm]\pi[/mm] das
> Quadrat weg? Bereits an dieser Stelle scheiter ich...
>
> [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2\cdot{}(z-\pi)} dz} =\bruch{-2}{\pi}\cdot{}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2}{\pi^2}\cdot{}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{z} dz}[/mm]
>
> > + [mm]\bruch{2}{\pi^2}\cdot{}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\pi)} dz}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{-2*2}{2*\pi}\cdot{}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{z^2} dz}-\bruch{2*2}{2*\pi^2}\cdot{}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{z} dz}[/mm]
>
> > + [mm]\bruch{2*2}{2*\pi^2}\cdot{}\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\pi)} dz}[/mm]
>
Betrachte nur die Integrale, dann gilt:
[mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\blue{\pi})} dz}=2*\pi*i*e^{i*\blue{\pi}}[/mm]
[mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\blue{0})} dz}=2*\pi*i*e^{i*\blue{0}}[/mm]
[mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\blue{0})^{2}} dz}=2*\pi*i* \ ...[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Do 29.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Vielen, vielen Dank erstmal!
> Betrachte nur die Integrale, dann gilt:
>
> [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\blue{\pi})} dz}=2*\pi*i*e^{i*\blue{\pi}}[/mm]
>
> [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\blue{0})} dz}=2*\pi*i*e^{i*\blue{0}}[/mm]
Darf ich das denn jeweils so betrachten? Also laut der Integralformel steht im Nenner des Bruches ja immer [mm] \zeta [/mm] - z und jetzt haben wir ja beispielsweise z- 0... darf ich das umdrehen?
>
> [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\blue{0})^{2}} dz}=2*\pi*i* \ ...[/mm]
>
Wäre das letzte Integral dann:
[mm] \integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\blue{0})^{2}} dz}=2*\pi*i* \bruch{e^{i*0} }{2}, [/mm] oder wie kann ich das Quadrat im Nenner "verarbeiten?
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Hallo Pia90,
> Vielen, vielen Dank erstmal!
>
> > Betrachte nur die Integrale, dann gilt:
> >
> > [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\blue{\pi})} dz}=2*\pi*i*e^{i*\blue{\pi}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\blue{0})} dz}=2*\pi*i*e^{i*\blue{0}}[/mm]
>
> Darf ich das denn jeweils so betrachten? Also laut der
> Integralformel steht im Nenner des Bruches ja immer [mm]\zeta[/mm] -
> z und jetzt haben wir ja beispielsweise z- 0... darf ich
> das umdrehen?
> >
> > [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\blue{0})^{2}} dz}=2*\pi*i* \ ...[/mm]
>
> >
>
> Wäre das letzte Integral dann:
> [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{e^{iz}}{(z-\blue{0})^{2}} dz}=2*\pi*i* \bruch{e^{i*0} }{2},[/mm]
> oder wie kann ich das Quadrat im Nenner "verarbeiten?
Schau Dir die allgemeine Cauchysche Integralformel genauer an.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Do 29.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das folgende Integral:
> [mm]\integral_{\delta K_4(1)}^{}{\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)} dz}.[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> ich komme gerade mit der oben genannten Aufgabe gar nicht
> klar. Ich habe irgendwie ein riesen Brett vor dem Kopf und
> gar keine Idee, wie ich vorgehen soll...
> In meinem Skript bin ich auf die allgemeine Cauchysche
> Integralformel gestoßen, kann damit aber irgendwie
> überhaupt nichts anfangen...
>
> Ich wäre euch dankbar für Tipps und Hinweise. Ein
> ähnliches Beispiel wäre sicherlich auch nicht schlecht...
> Gerne kann ich auch versuchen die Aufgabe mit etwas Hilfe
> hier im Forum zu lösen...
Sei [mm] f(z):=\bruch{2e^{iz}}{z^2*(z-\pi)}
[/mm]
f hat in z=0 einen Pol 2. Ordnung und in z= [mm] \pi [/mm] einen Pol 1. Ordnung
Die Residuen in diesen Polstellen sind einfach zu berechnen.
Verwende also den Residuensatz.
FRED
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Do 29.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Danke für den Hinweis!
Leider darf ich den Residuensatz noch nicht benutzen... Er kommt erst im nächsten Kapitel.
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