Integral mit e funktion < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Di 23.09.2014 | | Autor: | chris... |
| Aufgabe | | Sie würfeln 300-mal und protokollieren die Anzahl der sechsen. In welchem zum erwartungswert symmetrischen Bereich fällt die Anzahl der sechsen mit 99,7%- iger Wahrscheinlichkeit |
Hey, ich versuche gerade in der wahrscheinlichkeitsrechnung , keine taschenrechnerbefehle wie binompdf,... Zu benutzen. Zunächst habe ich deshalb aus der Aufgabe geschlussfolgert:
1. Erwartungswert: 50
2. [mm] \summe_{i=x}^{y} [/mm] ((300über [mm] x)*((1/6)^x)*(1-(1/6)^{300-x}))
[/mm]
3. 50-x= -(50-y)
--> 100-x= y
4. x kleiner gleich 50; y größer gleich 50
Da ich mit der summenformel jedoch nicht auf die x Werte ohne weiteres kam, habe ich versucht mit einem integral zu rechnen:
5. [mm] \integral_{0}^{300}{f(x) dx} [/mm] das Ergebnis würde ich dann =100% setzen
Um dadurch den flächeninhalt der =99.7% entspricht zu berechnen. Und daraus x zu berechnen.Um zunächst jedoch erstmal das intervall 0-300 zu errechnen, habe ich die Formel:
(1/(σ [mm] \wurzel{2\pi}))*e^{(-1/2)*((x-p)/ σ )^2}
[/mm]
σ= 6.454972244
Vereinfacht also:
[mm] 0.0618038723*e^{(-1/2)*((x-(1/6))/6.454972244)^2}
[/mm]
Das habe ich weiter versucht zu vereinfachen:
0.0618038723*e^((-1/2 [mm] x^2)/(-0.83333333333)+0,0003)
[/mm]
Um daraus folgend das integral von dieser Formel im interval 0-300 sowie:
6. [mm] \integral_{x}^{100-x}{f(x) dx}
[/mm]
Zunehmen.
Leider komme ich hierbei jetzt nicht weiter, die e Formel aufzuleiten und würde mich deshalb sehr über Hilfe freuen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Sie würfeln 300-mal und protokollieren die Anzahl der
> sechsen. In welchem zum erwartungswert symmetrischen
> Bereich fällt die Anzahl der sechsen mit 99,7%- iger
> Wahrscheinlichkeit
> Hey, ich versuche gerade in der
> wahrscheinlichkeitsrechnung , keine taschenrechnerbefehle
> wie binompdf,... Zu benutzen.
Das ist löblich, aber nicht so einfach, wie du dir das vorstellst oder je nachdem was man unter Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehen möchte schlechterdings unmöglich, da man bei Benutzung von Tabellen oder Näherungsverfahren im Prinzip auch nichts anders macht als das, was dem TR einprogrammiert ist.
> Zunächst habe ich deshalb
> aus der Aufgabe geschlussfolgert:
> 1. Erwartungswert: 50
> 2. [mm]\summe_{i=x}^{y}[/mm] ((300über
> [mm]x)*((1/6)^x)*(1-(1/6)^{300-x}))[/mm]
> 3. 50-x= -(50-y)
> --> 100-x= y
> 4. x kleiner gleich 50; y größer gleich 50
> Da ich mit der summenformel jedoch nicht auf die x Werte
> ohne weiteres kam, habe ich versucht mit einem integral zu
> rechnen:
> 5. [mm]\integral_{0}^{300}{f(x) dx}[/mm] das Ergebnis würde ich
> dann =100% setzen
> Um dadurch den flächeninhalt der =99.7% entspricht zu
> berechnen. Und daraus x zu berechnen.Um zunächst jedoch
> erstmal das intervall 0-300 zu errechnen, habe ich die
> Formel:
> (1/(σ [mm]\wurzel{2\pi}))*e^{(-1/2)*((x-p)/ σ )^2}[/mm]
> σ=
> 6.454972244
> Vereinfacht also:
> [mm]0.0618038723*e^{(-1/2)*((x-(1/6))/6.454972244)^2}[/mm]
> Das habe ich weiter versucht zu vereinfachen:
> 0.0618038723*e^((-1/2 [mm]x^2)/(-0.83333333333)+0,0003)[/mm]
> Um daraus folgend das integral von dieser Formel im
> interval 0-300 sowie:
> 6. [mm]\integral_{x}^{100-x}{f(x) dx}[/mm]
> Zunehmen.
> Leider komme ich hierbei jetzt nicht weiter, die e Formel
> aufzuleiten und würde mich deshalb sehr über Hilfe
> freuen...
Was ist aufleiten? Im Ernst: dieses Wort ist sprachlicher Nonsens auf unterirdischem Niveau und das wird nicht besser durch die Tatsache, dass es im schulischen Bereich immer häufiger gelehrt wird. Überlege dir dazu einmal, wie es zu der falschen Verwendung der Vorsilbe auf wohl gekommen ist.
Um auf dein Anliegen zurückzukommen: Dein Integrationsintervall müsste von 50-x bis 50+x gehen, das ist sonst verwirrend (auch wenn du mit deiner Notation ebenfalls einen zum Erwartungswert symmetrischen Bereich abdeckst). Das ganze scheitert an der Tatsache, dass die Funktion
[mm] f(x)=e^{-x^2}
[/mm]
keine geschlossen darstellbare Stammfunktion besitzt. Man kann eine solche Stammfunktion nur durch unendliche Reihen ausdrücken oder ihr einen neuen Namen geben:
[mm] \int{e^{-x^2} dx}=\bruch{\wurzel{\pi}}{2}*erf(x)+C
[/mm]
aber das macht die Sache auch nicht besser.
Wenn du das ganze nicht mit der Binomialverteilung sondern approximiert durch eine Normalverteilung bearbeiten möchtest dann arbeite mit der transformierten Zufallsvariablen
[mm] Z=\bruch{X-50}{\wurzel{125/3}}
[/mm]
sowie einer Tabelle der Standardnormalverteilung. Alternativ kann man natürlich auch die im TR implementierte Normalverteilung benutzen, aber das war ja eben nicht dein Anliegen.
Ich verschiebe das ganze mal nach Stochastik, dort scheint es mir passender zu sein.
Gruß, Diophant
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