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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f(x,y) = 3 - |x| - |y| und das Gebiet G = {(x, y) [mm] \in [/mm] R² : |x| + |y| [mm] \le [/mm] 3}.
a) Skizzieren Sie ds Gebiet G.
b) Berechnen Sie [mm] \integral_{}^{}\integral_{G}^{}{f(x, y) dG}
[/mm]
c) Was haben Sie durch das Gebietsintegral in b) berechnet? |
Guten Tag,
ich habe ein Problem beim Integrieren der Funktion. Aber erst einmal...
a) Skizziert. Erhalten habe ich ein Quadrat mit den Eckpunkten in (3, 0), (0, 3), (-3,0), (0, -3).
c) Berechnet wird das Volumen einer Pyramide mit h = 3 und erwähnter quadratischer Grundfläche.
Problem b):
Da das Gebiet G symmetrisch ist, kann ich das Integral einer Ecke berechnen und mit 4 multiplizieren. Ich nehme die Ecke im ersten Quadranten:
4 * [mm] \integral_{0}^{3}\integral_{0}^{-x+3}{3 - |x| - |y| dy dx}
[/mm]
Und nun bleibe ich stecken. Wie integriere ich |y| nach y?
Meine Idee: y nimmt in dem Quadranten, den ich betrachte nur positive Werte an. Kann ich deshalb den Betrag auflösen und bilde das Integral von y? Falls die Annahme richtig ist, gilt das dann auch für x, richtig?
Mein Ergebnis mit dieser Annahme ist 18 und stimmt mit der Lösung überein.
Aber da ich nur die Lösung habe und keinen Lösungsweg, wollte ich mich erkundigen, ob meine Annahmen und deren Begründung richtig sind oder ich nur durch Zufall den richtigen Wert herausbekommen habe.
Liebe Grüße,
Pingumane
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Fr 01.07.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Annahme ist nur deshalb richtig, weil die Funktion , die du integrierst dieselbe Symmetrie hat wie dein Quadrat, d,h, auch die Funktionswerte an den entsprechenden Stellen sind gleich wenn du zu integrierende fkt etwa 3-x-y wäre könntest du so nicht rechnen,
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:03 Sa 02.07.2016 | | Autor: | Pingumane |
Vielen lieben Dank für die Antwort :)
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