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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{\IR^{2}}^{}{f(x,y) dxdy} [/mm] mit
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \wurzel{1-x^{2}-y^{2}}, & \mbox{für } x^{2}+y^{2} \le1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] |
Wie berechne ich dieses Integral? Berechne ich einfach für [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] das Integral aus und sage dann, dass es für die anderen Fälle gleich c ist? und wie berechne ich am besten das Integral der Wurzel?
In welche Richtung ich zuerst integriere ist egal oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Di 31.10.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Mathestudi
Interpretiere das Integral geometrisch!
[mm] $D=\{ (x,y)\in\IR^2 : x^2+y^2\leq 1\}$ [/mm] ist die Einheitskreisscheibe in der Ebene, während
[mm] $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ [/mm] die Halbkugel über D beschreibt.
Folglich ist [mm] $\int_D \sqrt{1-x^2-y^2}\,dx\,dy$ [/mm] das Volumen der Halbkugel über dem Einheitskreis.
mfG Moudi
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Also ist das Integral dann praktisch gleich dem Volumen dieser Halbkugel. Also gleich [mm] \bruch{2}{3} \* \pi [/mm] ?
Denn der Radius ist ja 1.
Richtig?
Aber wie kommt man darauf, dass diese Wurzel gleich dieser Halbkugel ist? Kann man das irgendwie sehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Do 02.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Mathestudi
Wenn [mm] $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$, [/mm] dann ist [mm] $x^2+y^2+y^2=1$, [/mm] damit liegt der Punkt P(x,y,z) mit dieser Bedingung auf der Einheitskugel.
Halbkugel weil die Wurzel defintionsgemäss positiv ist, so erhält man nur diejenigen Punkte P(x,y,z), für die z positiv ist.
mfG Moudi
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