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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Di 13.06.2006 | | Autor: | bionda |
Hallo,
ich habe leider mal wieder eine Frage und zwar wollte ich ganz einfach -das dachte ich anfänglich- das folgende Integral berechnen:
[mm] \integral_{-1}^{2}{(x+1)(x-1) dx}
[/mm]
Beim Ausrechnen kam ich dann auf eine Gesamtfläche von [mm] \bruch{4}{3}, [/mm] doch im Lösungsbuch steht [mm] \bruch{8}{3}.
[/mm]
Kann mir vielleicht jemand sagen, was ich mal wieder nicht beachtet habe ;)??
Vielen Dank schon mal vorweg...
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Di 13.06.2006 | | Autor: | bionda |
Ich nochmal...
Mir ist noch eine Frage eingefallen *schäm*
Die ist nicht so schlau die Frage ;))))
Ich frage mich nämlich, wann ich das Integral/die Integralfunktion/den Integrand in Betragstriche setze...mache ich das nur, wenn ich weiß die Fläche ist negativ orientiert oder auch wenn ich es garnicht so genau weiß...
Nochmal Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Mi 14.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo bionda
Die Funktion die du integrierst hat die Nullstellen x=-1 und x=+1
Wenn die Aufgabe war nicht einfach das Integral auszurechnen, sondern die Fläche zw. Kurve und x- Achst dann musst du entweder den Betrag integrieren (was man lieber nicht tut) oder von -1 bis +1 (da ist die Kurve unter der x Achse, davon den Betrag, dann von 1bis 2 und die ergebnisse addieren. Wenn es um Flächen geht immer auf die Nullstellen achten. Das beantwortet auch deine 2. Frage. Erster Schritt: nullstellen suchen. 2. Schritt Integral aufteilen. 3. Schritt Beträge nehmen (dabei schadet es nicht, wenn man sicherheitshalber, oder wenn man nicht weiss obs pos oder neg ist immer Betrag hinschreibt, denn wenns pos. ist schadet es ja nichts!)
Gruss leduart
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Hallo, ich glaube, du hast nicht richtig gelöst, ich hoffe, ich kann dir helfen
Was ich berechnet habe, ist ganz anders als deine Berechnung und als die Berechnung des Buches
Da dieses System kein Symbol für bestimmte Integrationen hat, werde ich zuerst die unbestimmte Stammfunktion berechnen und dann werde ich den folgenden Satz verwenden, den du schon wissen solltest, um die Stammfunktion in den Punkten zu evaluieren:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = F(b) - F(a), mit F als Stammfunktion von f
[mm] \integral{(x+1)(x-1) dx} [/mm] = [mm] \integral{( x^{2} - 1 ) dx} [/mm] = [mm] \integral{ x^{2} dx} [/mm] - [mm] \integral{ dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} x^{3} [/mm] - x = F(x)
Also F(2) - F(- 1) = [ [mm] \bruch{1}{3} (2)^{3} [/mm] - (2) ] - [mm] [\bruch{1}{3} (-1)^{3} [/mm] - (-1) ] = 0
Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo branwijck!
Bei dieser Aufgabe soll aber die Fläche im angegebenen Intervall berechnet werden. Da wir hier aber über eine Nullstelle bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ hinweg integrieren bzw. Flächenbereiche sowohl ober- als auch unterhalb der x-Achse liegen, muss dieses Integral in zwei Teilintegrale zerlegt werden.
Damit ergibt sich dann auch die Gesamtfläche von [mm] $\bruch{8}{3} [/mm] \ F.E.$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Arkus |
Hallo
> Hallo, ich glaube, du hast nicht richtig gelöst, ich hoffe,
> ich kann dir helfen
>
> Was ich berechnet habe, ist ganz anders als deine
> Berechnung und als die Berechnung des Buches
>
> Da dieses System kein Symbol für bestimmte Integrationen
> hat, werde ich zuerst die unbestimmte Stammfunktion
> berechnen und dann werde ich den folgenden Satz verwenden,
> den du schon wissen solltest, um die Stammfunktion in den
> Punkten zu evaluieren:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = F(b) - F(a), mit F als
> Stammfunktion von f
>
> [mm]\integral{(x+1)(x-1) dx}[/mm] = [mm]\integral{( x^{2} - 1 ) dx}[/mm] =
> [mm]\integral{ x^{2} dx}[/mm] - [mm]\integral{ dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} x^{3}[/mm]
> - x = F(x)
>
> Also F(2) - F(- 1) = [ [mm]\bruch{1}{3} (2)^{3}[/mm] - (2) ] -
> [mm][\bruch{1}{3} (-1)^{3}[/mm] - (-1) ] = 0
>
> Grüsse
>
Du hast zwar richtig gerechnet, aber du hast schlichtweg ignoriert, dass im Intervall [-1;2] eine Nullstelle bei [mm] x_0=1 [/mm] ist, damit muss man stückweise integrieren, du hast aber bloß die orientierte Fläche berechnet, die durch die Nullstelle eben rund 0 ist.
Der Wert [mm] \frac{8}{3} [/mm] oder 2.667 ist schon richtig ;)
MfG Arkus
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