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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mo 04.07.2005 | | Autor: | niemand |
Hallo,
ich hab das problem das ich nicht zum korrekten ergebnis bei diesen beiden aufgaben komme. Man soll das Integral per Riemann-Summe bestimmen.
a)
[mm] \integral_{-1}^{2} {x^2 dx}
[/mm]
also wähle ich [mm] \Delta [/mm] x = [mm] \bruch{3}{n} [/mm] und [mm] x_k [/mm] = [mm] \bruch{3k^2}{n}
[/mm]
dann ist die Obersumme O(n) = [mm] \bruch{9}{n^2}* \summe_{k=1}^{n} k^2
[/mm]
= [mm] \bruch{9}{n^2}* \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] und für
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{9}{n^2}* \bruch{2n^3+3n^2+n}{6}
[/mm]
kommt man nichtmal in die nähe von [mm] \bruch{7}{3} [/mm] die ich per normaler integralrechnung hier erhalten habe.
wo ist hier der fehler was mache ich falsch?
b)
[mm] \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{(b-a)^2}{n^2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^2}
[/mm]
hier weiß ich nicht den Wert der Summe wenn n gegen [mm] \infty [/mm] geht.
mfg.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, niemand,
> a)
> [mm]\integral_{-1}^{2} {x^2 dx}[/mm]
> also wähle ich [mm]\Delta[/mm] x =
> [mm]\bruch{3}{n}[/mm] und [mm]x_k[/mm] = [mm]\bruch{3k^2}{n}[/mm]
> dann ist die Obersumme O(n) = [mm]\bruch{9}{n^2}* \summe_{k=1}^{n} k^2[/mm]
Mir scheint, ein Problem liegt darin, dass der Graph der Funktion links von x=0 fällt, rechts steigt. Daher muss man für die Obersumme im linken Teil jeweils die Funktionswerte am linken Rand, für den rechten Teil aber am rechten Rand verwenden.
Ich würde das Integral daher in 2 Summanden zerlegen:
[mm] \integral_{-1}^{0}{x^{2}dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2}{x^{2}dx}
[/mm]
Den zweiten Summanden rechne ich Dir jetzt mal vor:
[mm] \integral_{0}^{2}{x^{2}dx} [/mm]
= [mm] \bruch{2}{n}*(f(\bruch{2}{n}) [/mm] + [mm] f((2*\bruch{2}{n}) [/mm] + ... [mm] +f(n*\bruch{2}{n}))
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{n}*(\bruch{4}{n^{2}} [/mm] + [mm] 4*\bruch{4}{n^{2}} [/mm] + ... + [mm] n^{2}*\bruch{4}{n^{2}})
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{n}*\bruch{4}{n^{2}} [/mm] *(1 + 4 + ... + [mm] n^{2}=
[/mm]
= [mm] \bruch{8}{n^{3}}*\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
= [mm] \bruch{8*(2n^{3}+3n^{2}+n)}{6n^{3}}
[/mm]
Und der Term geht für n [mm] \to \infty [/mm] gegen [mm] \bruch{8}{3}.
[/mm]
Da der linke Teil nach analoger Rechnung [mm] gegen\bruch{1}{3} [/mm] geht, erhältst Du als Gesamtfläche: 3,
nicht [mm] \bruch{7}{3} [/mm] was Du als Ergebnis haben wolltest. Ich vermute, Du hast vergessen, dass man den Wert an der Untergrenze subtrahiert!
Denk' nochmal drüber nach!
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