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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:06 So 25.09.2005 | | Autor: | Fruchtsaft |
Hallo,
und nun habe ich Aufgabenfrage zur Integralrechnung..
[mm]f(x):=(a+x^2)exp^x[/mm]
1.)Mittels partielle Integration das Intregal [mm] \integral_{0}^{1} {(a+x^2)exp^x *dx}[/mm]bestimmen.
ich versuche mich mal
zu 1.) [mm] f'(x)=(2x+a+x^2)exp^x [/mm]
$ [mm] \left[ (\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{3}x^3) exp^x \right]_1^0 [/mm] $ - [mm] $\integral_{0}^{1} {(a+x^2) exp^x dx}$
[/mm]
=[mm](\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{3})* exp) [/mm] - $ [mm] \left[ (a + x^2) exp^x \right]_1^0 [/mm] $
=[mm](\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{3})* exp) [/mm] - [mm] (a + 1) exp [/mm]
=[mm]\frac{1}{2}a+\frac{2}{3} [/mm]
Das wäre meiner bescheidenen Mathekenntnissen nach das Ergebnis...
Gruss
Fruchtsaft
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 So 25.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fruchtsaft!
Ich glaube, Du hast das Prinzip der  partiellen Integration noch nicht so ganz verinnerlicht.
Die Formel lautet ja: [mm] $\integral{u'*v \ dx} [/mm] \ = \ u*v - [mm] \integral{u*v' \ dx}$
[/mm]
In unserem Falle solltest Du das Integral zunächst zerlegen:
[mm] $\integral{\left(a+x^2\right)*e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{a*e^x \ dx} [/mm] + [mm] \integral{x^2*e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] a*\integral{e^x \ dx} [/mm] + [mm] \integral{x^2*e^x \ dx}$
[/mm]
Das erste Integral sollte ja nun nicht das Problem sein, oder?
Sehen wir uns das zweite an:
[mm] $\integral{x^2*e^x \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Hier wählen wir nun:
$u' \ := \ [mm] e^x$ $\Rightarrow$ [/mm] $u \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
$v \ := \ [mm] x^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $v' \ = \ 2x$
Dies setzen wir nun ein in die Formel:
[mm] $\integral{x^2*e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x [/mm] * [mm] x^2 [/mm] - [mm] \integral{2x*e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2*e^x [/mm] - [mm] 2*\integral{x*e^x \ dx}$
[/mm]
Für das zweite Integral müssen wir nun nochmal die partielle Integration anwenden.
Willst Du es nun mal probieren?
Gruß
Loddar
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Danke für die schnelle Antwort...
Ich rekapituliere und versuche zu vervollständigen.
Also, zunächst wende ich die Grundformel für das Integral einer Summe an.
$ [mm] \integral{\left(a+x^2\right)\cdot{}e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{a\cdot{}e^x \ dx} [/mm] + [mm] \integral{x^2\cdot{}e^x \ dx} [/mm] \ $
Wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, berechne ich diese beiden "Teilintegrale" seperat..
[mm]\ \integral{a\cdot{}e^x \ dx}[/mm]=$ a* [mm] \left[ e^x \right]_1^0 [/mm] $ = e
Oder?
> Dies setzen wir nun ein in die Formel:
>
> [mm]\integral{x^2*e^x \ dx} \ = \ e^x * x^2 - \integral{2x*e^x \ dx} \ = \ x^2*e^x - 2*\integral{x*e^x \ dx}[/mm]
Das muss doch heissen:
[mm]\integral{ \bruch{1}{3}x^3*e^x \ dx} \ = \ e^x * x^2 - \integral{2x*e^x \ dx} \ = \ x^2*e^x - 2*\integral{x*e^x \ dx}[/mm]
$ [mm] \integral{x^2\cdot{}e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x \cdot{} x^2 [/mm] - [mm] \integral{2x\cdot{}e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2\cdot{}e^x [/mm] - [mm] 2\cdot{}\integral{x\cdot{}e^x \ dx} [/mm] $
=[mm]x^2*e^x - 2e[/mm]
Das ganze wiedeer auf das Ursprungsintegral:
$ [mm] \integral{\left(a+x^2\right)\cdot{}e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{a\cdot{}e^x \ dx} [/mm] + [mm] \integral{x^2\cdot{}e^x \ dx} [/mm] \ $
=e+[mm]x^2*e^x - 2e[/mm]
=[mm]x^2*e^x-2[/mm]
?
Gruss
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 20:22 So 25.09.2005 | | Autor: | Fusioner |
hallo fruchtsaft
der server geht leider dauernd down.
>
> Also, zunächst wende ich die Grundformel für das Integral
> einer Summe an.
>
> [mm]\integral{\left(a+x^2\right)\cdot{}e^x \ dx} \ = \ \integral{a\cdot{}e^x \ dx} + \integral{x^2\cdot{}e^x \ dx} \ [/mm]
>
> Wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, berechne ich
> diese beiden "Teilintegrale" seperat..
>
> [mm]\ \integral{a\cdot{}e^x \ dx}[/mm]=[mm] a* \left[ e^x \right]_1^0=e^x[/mm]
>
> Oder?
genau richtig
>
> > Dies setzen wir nun ein in die Formel:
> >
> > [mm]\integral{x^2*e^x \ dx} \ = \ e^x * x^2 - \integral{2x*e^x \ dx} \ = \ x^2*e^x - 2*\integral{x*e^x \ dx}[/mm]
bis hier hin ist es richtig danach so
es fehlt dir nur noch [mm]\integral e^x\*x dx[/mm]
also machst du wieder partielle integration und setzt für
u ´ [mm] =e^x [/mm] und [mm] u=e^x [/mm] für v=x also v´=1 in die Formel ein und erhältst sowas wie
[mm]2\*e^x\*x-2\*\integral{e^x dx}[/mm].
jetzt setzt du alles (deine 4 integrationen), wieder zusammen auch den term mit a
und solltest dann wenn ich nicht falsch gerechnet hab [mm]e^x\*(a+x^2-2x-2)[/mm] erhalten.
ich glaube das müsste so stimmen
gruß fusi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 So 25.09.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo Fusioner,
> [mm]e^x\*(a+x^2-2x-2)[/mm] erhalten.
das muss [mm]e^x\*(a+x^2-2x+2)[/mm] heißen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Fusioner |
verdammte vorzeichen fehler!!!!!!!!!!!! 
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