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| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] I_{n}=\int_{0}^{\infty}x^{2n+1}e^{-ax^{2}},\, a>0,\, n\in\mathbb{N}_{0}, [/mm] indem Sie eine Rekursionsgleichung herleiten und [mm] I_0 [/mm] explizit bestimmen. |
Hallo,
ich weiß hier nicht wie man diese Rekursionsgleichung herleitet. Das muss wohl etwas mit partieller Integration zu tun haben.
Muss ich dann am Ende eine Formel für [mm] I_{n-1} [/mm] oder eher [mm] I_{k+1}, k\in{0,...,n-1} [/mm] herausbekommen?
Und das wichtigste: Wie setze ich an bzw. gehe ich vor, um das herzuleiten?
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 So 29.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Sleeper!
> Bestimmen Sie [mm]I_{n}=\int_{0}^{\infty}x^{2n+1}e^{-ax^{2}},\, a>0,\, n\in\mathbb{N}_{0},[/mm]
> indem Sie eine Rekursionsgleichung herleiten und [mm]I_0[/mm]
> explizit bestimmen.
>
> ich weiß hier nicht wie man diese Rekursionsgleichung
> herleitet. Das muss wohl etwas mit partieller Integration
> zu tun haben.
Ja, hat es. Schreibe $u' = [mm] x^{2 n + 1}$ [/mm] und $v = [mm] e^{-a x^2}$ [/mm] und leg los.
> Muss ich dann am Ende eine Formel für [mm]I_{n-1}[/mm] oder eher
> [mm]I_{k+1}, k\in{0,...,n-1}[/mm] herausbekommen?
Du musst einen Ausdruck mit [mm] $I_{n + 1}$ [/mm] herausbekommen, wenn du einmal partiell integrierst. Dann loest du dies nach [mm] $I_{n+1}$ [/mm] auf.
> Und das wichtigste: Wie setze ich an bzw. gehe ich vor, um
> das herzuleiten?
Siehe oben: du machst partielle Integration.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:42 So 29.11.2009 | | Autor: | reverend |
Die Aufgabe kam mir so bekannt vor...
guckstu hier.
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Gut, ich bin nun soweit:
[mm] I_{n}=\int_{0}^{\infty}x^{2n+1}e^{-ax^{2}}dx=\left[\frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}\cdot e^{-ax^{2}}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}\cdot\left(-2axe^{-ax^{2}}\right)dx
[/mm]
[mm] =\left[\frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}\cdot e^{-ax^{2}}\right]_{0}^{\infty}+\frac{a}{n+1}\int_{0}^{\infty}x^{2n+3}e^{-ax^{2}}\, [/mm] dx
was stimmen müsste, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Das letzte Integral sieht nun schon ziemlich stark nach [mm] I_{n+1} [/mm] aus, aber so ganz passt es noch nicht.
Aber selbst wenn es das ist, habe ich in der Rekursionsformel doch dann auch wieder ein Integral drin oder nicht? Dann bringt mir das doch eigtl nicht wirklich etwas.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:07 So 29.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gut, ich bin nun soweit:
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> [mm]I_{n}=\int_{0}^{\infty}x^{2n+1}e^{-ax^{2}}dx=\left[\frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}\cdot e^{-ax^{2}}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}\cdot\left(-2axe^{-ax^{2}}\right)dx[/mm]
>
> [mm]=\left[\frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}\cdot e^{-ax^{2}}\right]_{0}^{\infty}+\frac{a}{n+1}\int_{0}^{\infty}x^{2n+3}e^{-ax^{2}}\,[/mm]
> dx
Ja, das sieht doch gut aus. Warum rechnest du den Teil in den eckigen Klammern nicht mal aus?
> was stimmen müsste, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
> Das letzte Integral sieht nun schon ziemlich stark nach
> [mm]I_{n+1}[/mm] aus, aber so ganz passt es noch nicht.
Inwiefern passt es denn nicht?
> Aber selbst wenn es das ist, habe ich in der
> Rekursionsformel doch dann auch wieder ein Integral drin
> oder nicht?
Noe, wo sollte denn ein Integral herkommen?
Rechne doch erstmal weiter, also mach den Klammerausdruck weg, setz [mm] $I_{n+1}$ [/mm] fuer das (passende) Integral ein, und loes das ganze nach [mm] $I_{n+1}$ [/mm] auf.
LG Felix
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Ich glaub ich habs nun.
Weitergerechnet siehts so aus:
[mm] =&\left[\frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}\cdot e^{-ax^{2}}\right]_{0}^{\infty}+\frac{a}{n+1}\int_{0}^{\infty}x^{2n+3}e^{-ax^{2}}\, dx\\=&\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}\cdot e^{-ax^{2}}+\frac{a}{n+1}\int_{0}^{\infty}x^{2n+3}e^{-ax^{2}}\, dx\\=&\frac{a}{n+1}\cdot I_{n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow I_{n+1}&=&I_{n}\cdot\frac{n+1}{a}.
[/mm]
Passt es?
Naja um [mm] I_0 [/mm] ausrechnen zu können muss ich ja nur in meine Ausgangsformel n=0 setzen und integrieren, oder?
Die Aufgabe war ja eigentlich [mm] I_n [/mm] auszurechnen. Wenn ich nun also die Rekursionsformel hergeleitet hab und [mm] I_0 [/mm] berechnet hab, wie kann ich dann wirklich [mm] I_n [/mm] ausrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 29.11.2009 | | Autor: | valoo |
Ja, das passt so. Und [mm] I_{n} [/mm] kann man nur rekursiv berechnen. Was willst du da anders machen? Für [mm] I_{0} [/mm] integrierst du das einfach und da sollte [mm] \bruch{1}{2*a} [/mm] rauskommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 So 29.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich glaub ich habs nun.
> Weitergerechnet siehts so aus:
> [mm]=&\left[\frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}\cdot e^{-ax^{2}}\right]_{0}^{\infty}+\frac{a}{n+1}\int_{0}^{\infty}x^{2n+3}e^{-ax^{2}}\, dx\\=&\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}\cdot e^{-ax^{2}}+\frac{a}{n+1}\int_{0}^{\infty}x^{2n+3}e^{-ax^{2}}\, dx\\=&\frac{a}{n+1}\cdot I_{n+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow I_{n+1}&=&I_{n}\cdot\frac{n+1}{a}.[/mm]
>
> Passt es?
Sieht gut aus.
> Naja um [mm]I_0[/mm] ausrechnen zu können muss ich ja nur in meine
> Ausgangsformel n=0 setzen und integrieren, oder?
Ja.
> Die Aufgabe war ja eigentlich [mm]I_n[/mm] auszurechnen. Wenn ich
> nun also die Rekursionsformel hergeleitet hab und [mm]I_0[/mm]
> berechnet hab, wie kann ich dann wirklich [mm]I_n[/mm] ausrechnen?
Nun, du kannst die Rekursionsgleichung versuchen aufzuloesen.
Es ist ja [mm] $I_n [/mm] = [mm] \frac{n}{a} I_{n-1} [/mm] = [mm] \frac{n (n - 1)}{a^2} I_{n-2} [/mm] = [mm] \frac{n (n - 1) (n - 2)}{a^3} I_{n-3}$. [/mm] Man kann also vermuten, dass [mm] $I_n [/mm] = [mm] \frac{n!}{a^n} I_0$ [/mm] ist. Das kannst du jetzt mal versuchen per Induktion nachzuweisen.
LG Felix
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