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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Fr 29.02.2008 | | Autor: | krisu112 |
Hallo,
habe ein mehr oder weniger Kleines Problem bei einer Integrationsaufgabe!!! Hier verrechne ich mich an irgend einer Stelle immer, vielleicht kann mich jemand auf meinen Fehler hinweisen.
[mm] \integral_{a}^{b}{x*\wurzel{16-x^4} dx}
[/mm]
Substitution: [mm] u=x^2
[/mm]
u'=2x
dx= [mm] \bruch{du}{2x}
[/mm]
ANschließend eingesetzt kürzt sich x entsprechend raus und 1/2 habe ich nach der Faktorregel vor das Integral gezogen!
daraus folgt: [mm] \bruch{1}{2} \integral_{a}^{b}{\wurzel{4^2-u^2 }dx}
[/mm]
Das habe ich entsprechend wieder substituiert!
u=sin(z)
u'=cos(z)
du=4*cos(z)*dz
das eingesetzt ergibt entsprechend:
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{\wurzel{4^2-(4*sin(z))^2}*4*cos(z) dz}
[/mm]
weitere Schritte waren das ausklammern der 4 und vor das Integral ziehen!
[mm] 8*\integral_{a}^{b}{\wurzel{1-sin^2z}*cosz dz }
[/mm]
Durch den trigonometrischen Phytagoras (sin^2x+cos^2x=1) ersetzt erhalte ich:
8 [mm] \integral_{a}^{b}{cos^2z dz}
[/mm]
jetzt kommt die Produktintegration:
8 [mm] \integral_{a}^{b}{cos^2z dz}=[sin(z)*cos(z)]+\integral_{a}^{b}{sin^2(z) dz}
[/mm]
jetzt komm nochmal der trigonometrischen Phytagoras (sin^2x+cos^2x=1) :
8 [mm] \integral_{a}^{b}{cos^2z dz}=[sin(z)*cos(z)]-\integral_{a}^{b}{cos^2(z) dz}
[/mm]
entsprechend kann [mm] \integral_{a}^{b}{cos^2(z) dz} [/mm] rübergezogen werden!!
Doch jetzt kommt mein Problem:
9 [mm] \integral_{a}^{b}{cos^2z dz}=[sin(z)*cos(z)]+z
[/mm]
entsprechend die 1. Rücksubstitution:
[mm] \integral_{a}^{b}{cos^2z dz}=\bruch{1}{9}([\wurzel{4^2-u^2}*\bruch{u}{4}]+arcsin (\bruch{u}{4}))
[/mm]
jetzt die 2. Rücksubstitution:
[mm] \integral_{a}^{b}{x*\wurzel{16-x^4} dx}=\bruch{1}{9}([\wurzel{4^2-x^4}*\bruch{x^2}{4}]+arcsin (\bruch{x^2}{4}))
[/mm]
Doch irgendwas mache ich immer falsch!! Vielleicht könnt ihr mir helfen, im Vorraus Danke!
mfg
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Hallo krisu,
> Hallo,
>
> habe ein mehr oder weniger Kleines Problem bei einer
> Integrationsaufgabe!!! Hier verrechne ich mich an irgend
> einer Stelle immer, vielleicht kann mich jemand auf meinen
> Fehler hinweisen.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{x*\wurzel{16-x^4} dx}[/mm]
>
> Substitution: [mm]u=x^2[/mm]
> u'=2x
>
> dx= [mm]\bruch{du}{2x}[/mm]
>
> ANschließend eingesetzt kürzt sich x entsprechend raus und
> 1/2 habe ich nach der Faktorregel vor das Integral
> gezogen!
>
> daraus folgt: [mm]\bruch{1}{2} \integral_{a}^{b}{\wurzel{4^2-u^2 }dx}[/mm]
Durch die Subsitution ändern sich natürlich auch die Integrationsgrenzen:
[mm]\bruch{1}{2} \integral_{a^{2}}^{b^{2}}{\wurzel{4^2-u^2 }dx}[/mm]
>
> Das habe ich entsprechend wieder substituiert!
>
> u=sin(z)
Das soll wohl [mm]u=\red{4*}\sin\left(z\right)[/mm] heißen.
> u'=cos(z)
>
> du=4*cos(z)*dz
>
> das eingesetzt ergibt entsprechend:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{\wurzel{4^2-(4*sin(z))^2}*4*cos(z) dz}[/mm]
>
> weitere Schritte waren das ausklammern der 4 und vor das
> Integral ziehen!
>
> [mm]8*\integral_{a}^{b}{\wurzel{1-sin^2z}*cosz dz }[/mm]
>
> Durch den trigonometrischen Phytagoras (sin^2x+cos^2x=1)
> ersetzt erhalte ich:
>
> 8 [mm]\integral_{a}^{b}{cos^2z dz}[/mm]
>
>
> jetzt kommt die Produktintegration:
>
> 8 [mm]\integral_{a}^{b}{cos^2z dz}=[sin(z)*cos(z)]+\integral_{a}^{b}{sin^2(z) dz}[/mm]
Auf der rechten Seite ist der Faktor 8 vergessen worden:
8 [mm]\integral_{}^{}{cos^2z dz}=\red{8*}sin(z)*cos(z)+\red{8*}\integral_{}^{}{sin^2(z) dz}[/mm]
>
> jetzt komm nochmal der trigonometrischen Phytagoras
> (sin^2x+cos^2x=1) :
>
> 8 [mm]\integral_{a}^{b}{cos^2z dz}=[sin(z)*cos(z)]-\integral_{a}^{b}{cos^2(z) dz}[/mm]
Folgefehler:
[mm]8*\integral_{}^{b}{sin^2(z) dz}=8*\integral_{}^{b}{1-cos^2(z) dz}[/mm]
Demnach:
[mm]16 \integral_{}^{}{cos^2z dz}=8*sin(z)*cos(z)+8*\integral_{}^{}{1 \ dz}=8*sin(z)*cos(z)+8*z[/mm]
>
> entsprechend kann [mm]\integral_{a}^{b}{cos^2(z) dz}[/mm]
> rübergezogen werden!!
>
> Doch jetzt kommt mein Problem:
>
> 9 [mm]\integral_{a}^{b}{cos^2z dz}=[sin(z)*cos(z)]+z[/mm]
>
> entsprechend die 1. Rücksubstitution:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{cos^2z dz}=\bruch{1}{9}([\wurzel{4^2-u^2}*\bruch{u}{4}]+arcsin (\bruch{u}{4}))[/mm]
>
> jetzt die 2. Rücksubstitution:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{x*\wurzel{16-x^4} dx}=\bruch{1}{9}([\wurzel{4^2-x^4}*\bruch{x^2}{4}]+arcsin (\bruch{x^2}{4}))[/mm]
>
>
> Doch irgendwas mache ich immer falsch!! Vielleicht könnt
> ihr mir helfen, im Vorraus Danke!
>
> mfg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Sa 01.03.2008 | | Autor: | krisu112 |
Hallo,
danke schonmal, den einen Fehler hab ich erkannt!!
$ 16 [mm] \integral_{}^{}{cos^2z dz}=8\cdot{}sin(z)\cdot{}cos(z)+8\cdot{}\integral_{}^{}{1 \ dz}=8\cdot{}sin(z)\cdot{}cos(z)+8\cdot{}z [/mm] $
Das konnte ich soweit entsprechend auch nachvollziehen. Doch wenn ich das jetzt weiterrechne komme ich leider wieder auch ein falsches Ergebnis!
$ 16 [mm] \integral_{}^{}{cos^2z dz}=8\cdot{}sin(z)\cdot{}cos(z)+8\cdot{}\integral_{}^{}{1 \ dz}
[/mm]
entsprechend jetzt durch 16 dividiert
[mm] \integral_{a}^{b}{x\cdot{}\wurzel{16-x^4} dx}=[\bruch{(8*[\wurzel{4^2-x^4}\cdot{}\bruch{x^2}{4}]+8*arcsin (\bruch{x^2}{4}))}{16}]
[/mm]
Sieht hier jemand noch einen entsprechenden Fehler bzw. hat die richtige Lösung??
Im Vorraus Danke
mfg
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Hallo,
ich habe jetzt nicht alles in Einzelheiten nachgerechnet.
In Deinem ersten Post rechnest Du ja mit bestimmten Integralen.
Wenn Du das tust, mußt Du bei der Substitution auch jeweils die Grenzen verändern. Rücksubstituieren muß man dann nicht mehr.
Wenn Du ohne Grenzen rechnest (im anderne Post sind die Grenzen dann ja plötzlich weg), dann mußt Du rücksubstituieren.
Am besten, Du entscheidest Dich für eine Variante und rechnest übersichtlich (und ggf. von uns zu lesen) noch einmal von vorn, Du hattest ja anfangs Fehler, und ich glaube, daß diese Dir im Moment noch einen Streich spielen.
Das richtige Ergebnis wäre [mm] \bruch{\wurzel{16-x^4}*x^2 + 16\arcsin(\bruch{x^2}{4}) }{4}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Sa 01.03.2008 | | Autor: | krisu112 |
Bis hier hin hab ich es ja verstanden:
$ 16 [mm] \integral_{}^{}{cos^2z dz}=8\cdot{}sin(z)\cdot{}cos(z)+8\cdot{}\integral_{}^{}{1 \ dz}=8\cdot{}sin(z)\cdot{}cos(z)+8\cdot{}z [/mm] $
aber ich versteh nicht wie ich auf das Ergebnis komme:
$ [mm] \bruch{\wurzel{16-x^4}\cdot{}x^2 + 16\arcsin(\bruch{x^2}{4}) }{4} [/mm] $
Wäre froh wenn mir jemand helfen könnte, denn am Montag steht Mathe an!
mfg
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Hallo krisu112,
>
> Bis hier hin hab ich es ja verstanden:
>
> [mm]16 \integral_{}^{}{cos^2z dz}=8\cdot{}sin(z)\cdot{}cos(z)+8\cdot{}\integral_{}^{}{1 \ dz}=8\cdot{}sin(z)\cdot{}cos(z)+8\cdot{}z[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> aber ich versteh nicht wie ich auf das Ergebnis komme:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{16-x^4}\cdot{}x^2 + 16\arcsin(\bruch{x^2}{4}) }{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Gemäß deiner letzten Substitution musstest du $8\cdot{}\int{\cos^2(z) \ dz}$ berechnen.
Teile also das Ergebnis oben durch 2, dann hast du
$8\cdot{}\int{\cos^2(z) \ dz}=4\cdot{}\sin(z)\cdot{}\cos(z)+4\cdot{}z$
Nun resubstituieren: mit $u=4\sin(z)$ ist $z=\arcsin\left(\frac{u}{4}\right)$
Und weiter mit $u=x^2$: $z=\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)$
Also $4\cdot{}\sin(z)\cdot{}\cos(z)+4\cdot{}z=4\cdot{}\sin\left(\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)\right)\cdot{}\cos\left(\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)\right)+4\cdot{}\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)$
Nun benutze, dass $\cos(\alpha)=\sqrt{1-\sin^2(\alpha)$ ist, dann bekommst du
$4\cdot{}\sin\left(\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)\right)\cdot{}\cos\left(\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)\right)+4\cdot{}\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)=4\cdot{}\frac{x^2}{4}\cdot{}\sqrt{1-\sin^2\left(\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)\right)}+4\cdot{}\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)$
$=x^2\cdot{}\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{4}\right)^2}+4\cdot{}\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)$
$=x^2\cdot{}\sqrt{\frac{16}{16}-\frac{x^4}{16}}+\frac{\blue{4\cdot{}}4\cdot{}\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)}{\blue{4}}$
$=\frac{x^2\cdot{}\sqrt{16-x^4}}{4}+\frac{16\cdot{}\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)}{4}=\frac{x^2\cdot{}\sqrt{16-x^4}+16\cdot{}\arcsin\left(\frac{x^2}{4}\right)}{4}$
> Wäre froh wenn mir jemand helfen könnte, denn am Montag
> steht Mathe an!
>
> mfg
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Sa 01.03.2008 | | Autor: | krisu112 |
Super!
Das hat mir wirklich weitergeholfen!!!
[mm] 8\cdot{}\int{\cos^2(z) \ dz}=4\cdot{}\sin(z)\cdot{}\cos(z)+4\cdot{}z [/mm]
Die 8 bleibt als Vorfaktor erhalten, da [mm] 8\cdot{}\int{\cos^2(z) \ dz} [/mm] nichts anderes ist wie:
[mm] \integral_{a}^{b}{x*\wurzel{16-x^4} dx}
[/mm]
sehe ich das so richtig??
mfg und vielen Dank für eure Hilfe!!!!!!
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Hallo nochmal,
> Super!
>
> Das hat mir wirklich weitergeholfen!!!
>
Das ist gut zu hören 
>
> [mm]8\cdot{}\int{\cos^2(z) \ dz}=4\cdot{}\sin(z)\cdot{}\cos(z)+4\cdot{}z[/mm]
>
> Die 8 bleibt als Vorfaktor erhalten, da
> [mm]8\cdot{}\int{\cos^2(z) \ dz}[/mm] nichts anderes ist wie:
>
> [mm]\integral{x*\wurzel{16-x^4} dx}[/mm]
Lass mal lieber hier die Grenzen weg
Ja, du hattest ja (mit kleinen Korrekturen von MathePower) das Ausgangsintegral mit den beiden Substitutionen [mm] $u:=x^2$ [/mm] und [mm] $u:=4\sin(z)$ [/mm] in das Integral [mm] $8\int{\cos^2(z) \ dz}$ [/mm] umgeformt
>
> sehe ich das so richtig??
>
> mfg und vielen Dank für eure Hilfe!!!!!!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Sa 01.03.2008 | | Autor: | krisu112 |
Super,
Aufgabe endlich komplett verstanden!!!! Vielen Dank für die Hilfe
mfg
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