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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Fr 26.09.2014 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Folgendes Integral muss gelöst werden:
[mm]u(x)=\integral_{\Omega}{G(a,x)f(a) da}-\integral_{\partial\Omega}{\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)g(a) da}[/mm]
mit [mm]\Omega=(0,1)[/mm],
[mm]G(x,y)=\begin{cases} (1-y)x, & \mbox{für } 0\le x\le y \\ y(1-x), & \mbox{für } y \le x \le 1\end{cases} [/mm]
Die Funktion [mm]g(a)[/mm] beschreibt das Verhalten auf [mm]\partial\Omega[/mm]. D.h. [mm]g(0)=0[/mm] und [mm]g(1)=1[/mm] ist gegeben. |
Hallo liebe Matheraum-Freunde!
Ich habe keine richtige Aufgabenstellung, sondern versuche ein Integral aus meinem Numerik-Skrip nachzuvollziehen.
Der erste Teil des Integrals ist mir klar. Probleme habe ich mit diesem Teil:
[mm]\integral_{\partial\Omega}{\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)g(a) da}[/mm]
Da es sich bei [mm]\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)[/mm] um die Normalableitung handelt, weiß ich [mm]\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)=\grad G*\vec{n}[/mm], wobei [mm]\vec{n}[/mm] senkrecht zu [mm]\partial\Omega[/mm] ist, d.h. bei [mm]\vec{n}[/mm] handelt es sich um den Einheitsvektor der Flächennormalen.
Wie berechne ich [mm]\vec{n}[/mm]?
Im Tutorium haben wir nun die Lösung bekommen: [mm]\integral_{\partial\Omega}{\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)g(a) da}=G'(1,x)*1=-x[/mm]
Jedoch ist mir überhaupt nicht klar, wie sie auf diese Lösung gekommen sind.
Kann mir hier irgendjemand weiterhelfen?
Vielen Lieben Dank schon mal!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Sa 27.09.2014 | | Autor: | Hans11 |
Hallo,
> Da es sich bei [mm]\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)[/mm] um die
> Normalableitung handelt, weiß ich [mm]\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)=\grad G*\vec{n}[/mm],
> wobei [mm]\vec{n}[/mm] senkrecht zu [mm]\partial\Omega[/mm] ist, d.h. bei
> [mm]\vec{n}[/mm] handelt es sich um den Einheitsvektor der
> Flächennormalen.
Du hast hier ein grad für Gradient vergessen.
> Wie berechne ich [mm]\vec{n}[/mm]?
>
Die Mannigfaltigkeit [mm]\partial \Omega[/mm] ist hier 0-dimensional, also gibt es kein solches [mm]\vec n[/mm]. Dennoch kannst du die Normalableitung definieren, nämlich als Ableitung von G (bzgl. der ersten Variablen).
> Im Tutorium haben wir nun die Lösung bekommen:
> [mm]\integral_{\partial\Omega}{\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)g(a) da}=G'(1,x)*1=-x[/mm]
>
> Jedoch ist mir überhaupt nicht klar, wie sie auf diese
> Lösung gekommen sind.
Ueberlege dir, über welches Maß du integrierst und beachte g(0)=0.
>
> Kann mir hier irgendjemand weiterhelfen?
> Vielen Lieben Dank schon mal!!
Liebe Grüße
Hans
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 27.09.2014 | | Autor: | m0ppel |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich hab allerdings immer noch eine Frage:
> Die Mannigfaltigkeit [mm]\partial \Omega[/mm] ist hier
> 0-dimensional, also gibt es kein solches [mm]\vec n[/mm]. Dennoch
> kannst du die Normalableitung definieren, nämlich als
> Ableitung von G (bzgl. der ersten Variablen).
Okay, das bedeutet: [mm]\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)=G_{a}(a,x)=\begin{cases} (1-x), & \mbox{für } 0\le a\le x \\ -x, & \mbox{für } x\le a\le 1 \end{cases}[/mm]
Das heißt dann
[mm]\integral_{\partial\Omega}{\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)g(a) da}=\integral_{\partial\Omega}{G_a(a,x)g(a)da}[/mm]
Warum kann ich hier nun einfach sagen, dass:
[mm] \integral_{\partial\Omega}{G_a(a,x)g(a)da}=G_a(1,x)g(1)-G_a(0,x)g(0)[/mm]
Ich meine, wo bleibt denn die Integration? Ich hab so doch einfach nur die Grenzen eingesetzt.
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Hallo,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> Ich hab allerdings immer noch eine Frage:
>
>
> > Die Mannigfaltigkeit [mm]\partial \Omega[/mm] ist hier
> > 0-dimensional, also gibt es kein solches [mm]\vec n[/mm]. Dennoch
> > kannst du die Normalableitung definieren, nämlich als
> > Ableitung von G (bzgl. der ersten Variablen).
>
>
> Okay, das bedeutet: [mm]\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)=G_{a}(a,x)=\begin{cases} (1-x), & \mbox{für } 0\le a\le x \\ -x, & \mbox{für } x\le a\le 1 \end{cases}[/mm]
Das ist noch nicht ganz richtig. Du hattest ja schon geschrieben, dass
[mm] $\frac{\partial G}{\partial n}(a,x)) [/mm] = [mm] G_a(a,x) \cdot [/mm] n$
(es wird ja nur nach der ersten Variable integriert).
--> Das $n$ fehlt bei dir noch.
Das Intervall [mm] $\Omega [/mm] = (0,1)$ hat zwei Randpunkte, [mm] $\partial \Omega [/mm] = [mm] \{0,1\}$. [/mm] Der Normaleneinheitsvektor zeigt von der Menge weg. Daher ist $n(0) = -1$ ("nach links") und $n(1) = 1$ ("nach rechts").
> Das heißt dann
> [mm]\integral_{\partial\Omega}{\bruch{\partial G}{\partial n}(a,x)g(a) da}=\integral_{\partial\Omega {G_a(a,x) \red{n(a)} g(a)da}[/mm]
Ja, mit der roten Korrektur.
> Warum kann ich hier nun einfach sagen, dass:
>
> [mm]\integral_{\partial\Omega}{G_a(a,x) n(a) g(a)da}=G_a(1,x)g(1)\red{n(1) + n(0)}G_a(0,x)g(0)[/mm]
> Ich meine, wo bleibt denn die Integration? Ich hab so doch
> einfach nur die Grenzen eingesetzt.
(beachte die rote Korrektur!)
Überleg dir mal, worüber hier integriert wird! [mm] $\partial \Omega$ [/mm] enthält doch nur zwei Elemente. Wenn du über eine endliche, nulldimensionale Menge integrierst, habt ihr das vermutlich als bloßes Aufsummieren definiert (sogenannte Integration mit dem Zählmaß).
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 So 28.09.2014 | | Autor: | m0ppel |
Vielen Lieben Dank! Jetzt hat es endlich bei mir Klick gemacht ;D
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