Integration Normalverteilung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Huhu,
um zu zeigen, dass die Normalverteilung ein W-Maß definiert haben wir gezeigt, dass das Integral =1 ist. Was zu zeigen ist verstehe ich. Allerdings scheitere ich an dem Lösungsweg bzw. der Substitution.
Es gilt das Integral zu berechnen:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\wurzel{2*\pi*\sigma^{2}}}*e^{\frac{-(x-y)^2}{2\sigma^{2}}} dx}
[/mm]
dann haben wir mit [mm] u=\frac{x-y}{\sigma} [/mm] substituiert:
[mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\wurzel{2*\pi*\sigma^{2}}}*e^{\frac{-u^2}{2}} * \sigma du}
[/mm]
[mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\wurzel{2*\pi*}}*e^{\frac{-u^2}{2}} du}
[/mm]
soweit so gut, das verstehe ich. allerdings steht im nächsten Schritt einfach nur:
[mm] =\wurzel{\frac{1}{2*\pi}}*\wurzel{2*\pi}
[/mm]
jetzt frage ich mich wie zur Hölle man das bitte erhält :-P
Hat einer von euch eine Idee?
LG
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Sowas weiss man einfach auswendig ;)
Spass beiseite: Dieses Integral ist nicht einfach zu bestimmen. Mehrere Wege sind auf ![[]](/images/popup.gif) Gaussian Integral (Wikipedia) beschrieben.
Gruss,
Hanspeter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Sa 29.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Alex,
O.B.d.A. setzen wir [mm] \mu=0 [/mm] und [mm] \sigma=1 [/mm] (Wieso dürfen wir das?).
Ich empfehle nun folgendes zu zeigen:
[mm] \left(\int_{\IR}e^{-t^2/2}dt\right)^2=2\pi.
[/mm]
Schreibe dazu das Quadrat der Integrale als ein zweidimensionales
Integral über
[mm] x=(x_1,x_2)\in\IR^2
[/mm]
und gehe über zu Polarkoordinanten.
(Beachte: [mm] x_1^2+x_2^2=\|x\|_2^2.)
[/mm]
Gruß
DieAcht
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