Integration einer Funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne
[mm] \integral{ \bruch{x-y}{x+y} dy}
[/mm]
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Hallo,
ich dachte mir, diese Aufgabe gehört in die Schulmathe und hab sie mal hier rein gestellt. Also eigentlich gehts nur um eines: Ich weiß nicht wie man das richtig integriert, so dass am Ende 2x * ln|x+y| - y herauskommt.
Ich probiers momentan mit substitution und setze u = x+y
dann leite ich das nach dy ab und bekomme nur mehr 1 und das bedeutet du = dy:
[mm] \integral [/mm] { [mm] \bruch{x-y}{u} [/mm] du} -->
[mm] \integral [/mm] { [mm] \bruch{x}{u} [/mm] - [mm] \bruch{y}{u} [/mm] du} und das wiederum integriert ergibt ln(u)*y - ln(u)*x ... naja, aber wie man sehen kann stimmt diese LSG nicht :( ...
Ich bin gerade etwas auf der Leitung und komme einfach nicht auf dieses Ergebnis... könnte mir jmd Schritt für Schritt sagen, wie ich hier auf das komme? (es könnte mit polynomdivision gehen, aber gibt es nichts anderes?)
Danke für jede Antwort!
LG
martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Do 06.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matheanfänger!
Aus $u \ := \ x+y$ folgt unmittelbar: $y \ = \ u-x$ . Substituiere dies nun auch im Zähler des Bruches, und es kommt kein $y_$ im Integral mehr vor.
Gruß
Loddar
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danke für die schnelle antwort!
aber wenn ich das so mache kommt mir 2x * ln(x+y) - x+y heraus ... aber es sollte doch 2x * ln(x+y) - y rauskommen - also lt lösung
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Hallo Matheanfaenger,
> danke für die schnelle antwort!
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> aber wenn ich das so mache kommt mir 2x * ln(x+y) - x+y
> heraus ... aber es sollte doch 2x * ln(x+y) - y rauskommen
> - also lt lösung
Die allgemeine Lösung des Integrals
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{x-y}{x+y} dy}=2x*\ln\left(x+y\right)-y+C[/mm]
,wobei C eine Konstante ist.
In dem Fall der Substitution [mm]u=x+y[/mm] ergibt sich die Konstante zu [mm]C=-x[/mm]
In der Lösung wurde für die Konstante [mm]C=0[/mm] gewählt.
Also sind beide Stammfunktionen richtig.
Gruß
MathePower
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danke für die antwort... aber ich verstehs irgendwie nicht ... wieso sollte C = -x sein? gibts da keinen einfacheren grund bzw. regel? ich mein, man kann das -x doch nicht einfach verschwinden lassen ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Do 06.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ein unbstimmtes Integral ist ja die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion.
z.B. [mm] \integral_{}^{}{x dx}=\bruch{1}{2}x²+C, [/mm] wobei C jede reelle Zahl sein kann. Denn beim Ableiten von [mm] \bruch{1}{2}x²+C [/mm] kommt, egal für welches C, wieder x raus.
Bei deiner Aufgabe hat man nur eine konkrete Stammfunktion angegeben, es gibt aber unendlich viele. Die additive Konstante (C) ist bei dir -x, bei deiner Musterlösung aber 0. Genau gut kannst du dein x durch jede reelle Zahl ersetzen, denn abgeleitet kriegst du auf alle Fälle wieder deine Ausgangsfunktion raus.
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